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问答题
设总体X的概率函数为
设总体X的概率函数为
又X
1
，X
2
，…，X
N
是取自总体X的简单随机样本，求未知参数θ的矩估计量．
答案：
正确答案：
由于不能用EX的初等函数将θ表示出来，所以要再计算X的二阶矩，即
解方程
，可得
． 于是θ的矩估计量为
由于不能用EX的初等函数将θ表示出来，所以要再计算X的二阶矩，即解方程，可得． 于是θ的矩估计量为
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问答题
已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：x=t+e -t ，y=2t+e -2t (t≥0)．证明该参数方程确定连续函数y=y(x)，x∈[1，+∞).
答案：
正确答案：因为x’t=1一e-t＞0(t>0)，x’t...
问答题
已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：x=t+e -t ，y=2t+e -2t (t≥0)．证明y=y(x)在[1，+∞)单调上升且是凸的．
答案：
正确答案：由参数式求导法
(t>0，即x>1) 于是y=y(x)在[1，+∞)单调上升．又
因此y=...
(t>0，即x>1) 于是y=y(x)在[1，+∞)单调上升．又
因此y=...
问答题
设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成．过z轴上
设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成．过z轴上
点(0，0，z)(0≤z ≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径
的圆面．若以每秒v
1
体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的．写出注水过程中t时刻水面高度z=z(t)与相应的水体积V=V(t)之间的关系式，并证明水面高度z与时间t的函数关系：
答案：
正确答案：由截面已知的立体体积公式可得t时刻容器中水面高度z(t)与体积V(t)之间的关系是 V(t)=∫0<...
问答题
已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：x=t+e -t ，y=2t+e -2t (t≥0)．求y=y(x)的渐近线．
答案：
正确答案：x→∞ <=> t→+∞
又因y=y(x)在[1，+∞)连续，所以y=y(x)只有渐近线y=2x．
又因y=y(x)在[1，+∞)连续，所以y=y(x)只有渐近线y=2x．
问答题
设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成．过z轴上
设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成．过z轴上
点(0，0，z)(0≤z ≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径
的圆面．若以每秒v
1
体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的．求水表面上升速度最大时的水面高度；
答案：
正确答案：求z取何值时
取最大值．已求得(*)式即
(若未解答题1，可对题1告知要证的结论即(**)...
取最大值．已求得(*)式即
(若未解答题1，可对题1告知要证的结论即(**)...
问答题
设z=z(x，y)是由9x
2
—54xy+90y
2
—6yz一z
2
+18=0确定的函数，求证z=z(x，y)一阶偏导数
设z=z(x，y)是由9x
2
—54xy+90y
2
—6yz一z
2
+18=0确定的函数，求证z=z(x，y)一阶偏导数
并求驻点；
答案：
正确答案：利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得 18xdx一54(ydx+xdy)+180ydy一6zdy一6y...
问答题
设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成．过z轴上
设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成．过z轴上
点(0，0，z)(0≤z ≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径
的圆面．若以每秒v
1
体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的．求灌满容器所需时间．
答案：
正确答案：归结求容器的体积，即 V=∫01S(z)dz=π∫0
问答题
设z=z(x，y)是由9x 2 —54xy+90y 2 —6yz一z 2 +18=0确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值．
答案：
正确答案：z=z(x，y)的极值点必是它的驻点．为判定z=z(x，y)在两个驻点处是否取得极值，还需求z=z(x，y)在...
并指出等式成立的区间．
其中S
+
为上半椭球面：
(0≤z≤c)的上侧．求证：
其中Ω是上半椭球体；
问答题
设曲面积分
设曲面积分
其中S
+
为上半椭球面：
(0≤z≤c)的上侧．求曲面积分J．
答案：
正确答案：求曲面积分J转化为求上题中的三重积分．怎样计算这个三重积分：
因为Ω是半椭球体，不宜选用球坐标变换与...
因为Ω是半椭球体，不宜选用球坐标变换与...
问答题
设α 1 ，α 2 ，α 3 都是矩阵A的特征向量，特征值两两不同，记γ=α 1 +α 2 +α 3 ·证明γ，Aγ，A 2 γ线性无关，γ，Aγ，A 2 γ，A 3 γ线性相关．
答案：
正确答案：设α1，α2，α3的特征值为a，b，c，由于...
问答题
设二次型x
T
Ax=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+2ax
1
x
2
+2bx
1
x
3
+2cx
2
x
3
，矩阵
设二次型x
T
Ax=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+2ax
1
x
2
+2bx
1
x
3
+2cx
2
x
3
，矩阵
满足AB=0．用正交变换化x
T
Ax为标准形，写出所作变换．
答案：
正确答案：
先作正交矩阵Q，使得Q-1AQ是对角矩阵． 条件说明B的3个列向量都是A的特...
先作正交矩阵Q，使得Q-1AQ是对角矩阵． 条件说明B的3个列向量都是A的特...
问答题
设二次型x
T
Ax=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+2ax
1
x
2
+2bx
1
x
3
+2cx
2
x
3
，矩阵
设二次型x
T
Ax=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+2ax
1
x
2
+2bx
1
x
3
+2cx
2
x
3
，矩阵
满足AB=0．求(A一3E)
6
．
答案：
正确答案：A的特征值为0，0，6，则A一3E的特征值为一3，一3，3，(A一3E)6的3个特征值都...
问答题
有甲、乙、丙三个口袋，其中甲袋装有1个红球，2个白球，2个黑球；乙袋装有2个红球，1个白球，2个黑球；丙袋装有2个红球，3个白球．现任取一袋，从中任取2个球，用X表示取到的红球数，Y表示取到的白球数，Z表示取到的黑球数，试求：(X，Y)的联合分布；
答案：
正确答案：用全概率公式求(X，Y)，(Y，Z)的联合分布，即有
从而(X，Y)与(Y，Z)的联合分布与边缘分布可列表如下：
从而(X，Y)与(Y，Z)的联合分布与边缘分布可列表如下：
问答题
有甲、乙、丙三个口袋，其中甲袋装有1个红球，2个白球，2个黑球；乙袋装有2个红球，1个白球，2个黑球；丙袋装有2个红球，3个白球．现任取一袋，从中任取2个球，用X表示取到的红球数，Y表示取到的白球数，Z表示取到的黑球数，试求：cov(X，Y)+cov(Y，Z)．
答案：
正确答案：
于是 cov(X，Y)+cov(Y，Z)=(EXY—EXEY)+(EYZ—EYEZ)
于是 cov(X，Y)+cov(Y，Z)=(EXY—EXEY)+(EYZ—EYEZ)
问答题
设总体X的概率函数为
设总体X的概率函数为
又X
1
，X
2
，…，X
N
是取自总体X的简单随机样本，求未知参数θ的矩估计量．
答案：
正确答案：
由于不能用EX的初等函数将θ表示出来，所以要再计算X的二阶矩，即
解方程
，可得
． 于是θ的矩估计量为
由于不能用EX的初等函数将θ表示出来，所以要再计算X的二阶矩，即解方程，可得． 于是θ的矩估计量为
