问答题

已知函数f(x)满足方程f"(x)+f’(x)-2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2e^x．求曲线
的拐点．

答案：由上一小题得

令y"=0，得x=0．
当x＞0时，y"＞0；当x＜0时，...

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设f(x)在x=0处二阶可导，又
求f’(0)与f"(0)；

答案：由

得f(0)=0．

从上式可以看出f’(0)=0，f"(0)=A．

设f(x)在x=0处连续，且x≠0时，
，求曲线y=f(x)在x=0对应的点处的切线方程．

答案：因为f(x)在x=0处连续，所以

切线方程为：y-e²

设f(x)在x=0处二阶可导，又
求极限

答案：

设z=f(x，y)是二次连续可微函数，又有关系式u=x+ay，v=x-ay(a是不为零的常数)，求

答案：由u=x+ay，v=x-ay，得

抛物线y=x²上任意一点(a，a²)(a＞0)处引切线L₁，在另一点处引切线L₂，L₂与L₁垂直．求L₁与L₂的交点的横坐标x₀；

答案：抛物线y=x²在点(a，a²)处的切线方程为
L_...

抛物线y=x²上任意一点(a，a²)(a＞0)处引切线L₁，在另一点处引切线L₂，L₂与L₁垂直．证明：L₁，L₂与抛物线y=x²所围图形的面积

答案：

已知函数f(x)满足方程f"(x)+f’(x)-2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2e^x．求f(x)的表达式；

答案：二阶线性齐次微分方程f"(x)+f’(x)-2f(x)=0对应的特征方程为：r²+r-2=0，解得...

抛物线y=x²上任意一点(a，a²)(a＞0)处引切线L₁，在另一点处引切线L₂，L₂与L₁垂直．问a取何值时，S(a)取最小值，最小值为多少

答案：

令S’(a)=0，得驻点

当
时，S’(a)＜0...

已知函数f(x)满足方程f"(x)+f’(x)-2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2e^x．求曲线
的拐点．

答案：由上一小题得

令y"=0，得x=0．
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设向量组①α₁=(1，2，-1)^T，α₂=(1，3，-1)^T，α₃=(-1，0，a-2)^T；②β₁=(-1，-2，3)^T，β₂=(-2，-4，5)^T，β₃=(1，b，-1)^T．
设A=(α₁，α₂，α₃)，B=(β₁，β₂，β₃)． a，b为何值时，矩阵A，矩阵B等价；a，b为何值时，矩阵A，矩阵B不等价；

答案：

当a≠3且b≠2时，R(A)=R(B)=3，矩阵A，B等价；
当a=3...

设二次型
矩阵A满足AB=0，其中
用正交变换化二次型f=x^TAx为标准形，并写出所用的正交变换；

答案：由AB=0，知λ=0是矩阵A的特征值且矩阵B的列向量(1，0，1)^T是矩阵A属于特征值λ=0的特征...

设向量组①α₁=(1，2，-1)^T，α₂=(1，3，-1)^T，α₃=(-1，0，a-2)^T；②β₁=(-1，-2，3)^T，β₂=(-2，-4，5)^T，β₃=(1，b，-1)^T．
设A=(α₁，α₂，α₃)，B=(β₁，β₂，β₃)． a，b为何值时，向量组①，向量组②等价；a，b为何值时，向量组①，向量组②不等价．

答案：当a≠3且b≠2时，R(a₁，α₂，α₃)=R(β

设二次型
矩阵A满足AB=0，其中
判断矩阵A与B是否合同．

答案： A的特征值为：6，0，-6，可求出B的特征值为：0，0，2．由惯性定理，A与B不合同．