问答题

将数字1，2，…，n随机地排列成新次序，以X表示经重排后还在原位置上的数字的个数．计算EX和DX．

答案：【解】令

则有

而

最后得

你可能感兴趣的试题

设二维随机变量(X，Y)的概率密度为
求二维随机变量(X ² ，Y ² )的概率密度．

答案：【解】由f(x，y)的表达式知，X与Y相互独立，且它们的概率密度都为

记u=g(x)=...

设二次方程x ₂ -Xx+Y=0的两个根相互独立，且都在(0，2)上服从均匀分布，分别求X与Y的概率密度．

答案：【解】设二次方程的两个根为X₁，X₂则它们的概率密度都为

设ξ，η是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为
i=1，2，3，又设X=max{ξ，η}，Y=min{ξ，η}，试写出二维随机变量(X，Y)的分布律及边缘分布律，并求P{ξ=η}．

答案：【解】X的可能值为1，2，3，Y的可能值为1，2，3．

以此类推可求出(X，Y)的分布律及边缘分布列如下：

设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布，证明：Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布．

答案：【证】

故Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布．

设随机变量X与Y相互独立，都服从均匀分布U(0，1)．求Z=|X-Y|的概率密度及

答案：【解】U=X-Y的密度为

当u≤-1或u≥1时，f_U(u)=0；...

设(X，Y)的概率密度为
问X，Y是否独立

答案：【解】边缘密度为

因为f(x,y)=f _X (x)·f _Y (y)，所以X，Y独立．

设随机变量(X，Y)的概率密度为
求Z=X ² +Y ² 的概率密度f _Z (z)．

答案：【解】设Z的分布函数为F _Z (z)，则

故

设随机变量X ₁ ，X ₂ ，…，X _n 相互独立，且X _i 服从参数为λ _i 的指数分布，其密度为
求P{X ₁ =min{X ₁ ，X ₂ ，…，X _n }}．

答案：【解】方法一 P{X₁=min{X₁，X₂，…，X

设X关于Y的条件概率密度为
而Y的概率密度为
求

答案：【解】(X，Y)的概率密度为

如下图所示，则

设(X，Y)服从G={(x，y)|x ² +y ² ≤1}上的均匀分布，试求给定Y=y的条件下X的条件概率密度函数f _X|Y (x|y)．

答案：【解】因为(X，Y)服从G={(x,y)|x ² +y ² ≤1}上的均匀分布，所以

故

所以，当-1＜y＜1时，有

设随机变量(X，Y)的概率密度为
求Z=X+2Y的分布函数F _Z (z)．

答案：【解】如下图所示，

设试验成功的概率为
，失败的概率为
，独立重复试验直到成功两次为止，试求试验次数的数学期望．

答案：【解】设X表示“所需试验次数”，则X的可能取值为2，3，…，于是

从而

有20位旅客乘民航的送客车自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求EX(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车是相互独立的)．

答案：【解】引入随机变量

则X=X ₁ +X ₂ +…+X ₁₀ ，由

知

进而

市场上有两种股票，股票A的价格为60元/股，每股年收益为R ₁ 元，其均值为7，方差为50．股票B的价格为40元/股，每股年收益为R ₂ 元，其均值为3.2，方差为25，设R ₁ 和R ₂ 互相独立．某投资者有10000元，拟购买s ₁ 股股票A，s ₂ 股股票B，剩下的s ₃ 元存银行，设银行1年期定期存款利率为5%，投资者希望该投资策略的年平均收益不少于800元，并使投资收益的方差最小，求这个投资策略(s ₁ ，s ₂ ，s ₃ )，并计算该策略的收益的标准差．

答案：【解】设投资策略为(s₁，s₂，s₃)，则该投资策略的...

设随机变量服从几何分布，其分布律为P{X=k}=(1-p) ^k-1 p，0＜p＜1，k=1，2，…，求EX与DX．

答案：【解】

其中q=1-p．

设随机变量X的概率密度为
已知EX=2，
求a，b，c的值；

答案：【解】

解方程组

得

设(X，Y)的概率密度为
求
的数学期望．

答案：【解】

设随机变量X的概率密度为
已知EX=2，
求随机变量Y=e ^X 的数学期望和方差．

答案：【解】

在长为L的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差．

答案：【解】以线段的左端点为原点建立坐标系，任取两点的坐标分别为X，Y，则它们均在[0，L]上服从均匀分布，且X，Y相互独立．...

设X，Y是两个相互独立且均服从正态分布
的随机变量，求E(|X-Y|)与D(|X-Y|)．

答案：【解】设Z=X-Y，则Z～N(0，1)．故

所以

设随机变量X与Y独立同分布，均服从正态分布N(μ，σ ² )，求：max{X，Y}的数学期望；

答案：【解】设
则U和V独立同服从正态分布N(0，1)．
X=σU十μ，Y=σV+μ，max{X，Y}=σ...

设随机变量X与Y独立同分布，均服从正态分布N(μ，σ ² )，求：min{X，Y}的数学期望．

答案：【解】由上小题得：min{X，Y}=σ(min{U，V})+μ，而

则

设X，Y相互独立同分布，均服从几何分布P{X=k}=q ^k-1 p，k=1，2，…，求E(max{X，Y})．

答案：【解】

设连续型随机变量X的所有可能值在区间[a，b]之内，证明：a≤EX≤b；

答案：【证】因为a≤X≤b，所以Ea≤EX≤Eb，即a≤EX≤b．

对三台仪器进行检验，各台仪器产生故障的概率分别为p ₁ ，p ₂ ，p ₃ ，求产生故障仪器的台数X的数学期望和方差．

答案：【解】X的分布为

设连续型随机变量X的所有可能值在区间[a，b]之内，证明：

答案：【证】因为对于任意的常数C有DX≤E[(X-C) ² ]，
取

则有

一商店经销某种商品，每周进货量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间[10，20]上的均匀分布．商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值．

答案：【解】设T为一周内所得利润，则

其中

所以

袋中有n张卡片，分别记有号码1，2，…，n，从中有放回地抽取k张，以X表示所得号码之和。求EX，DX．

答案：【解】设X _i 为“第i张的号码”，i=1，2，…，k，则X _i 的分布为

则

所以

设X与Y为具有二阶矩的随机变量，且设Q(a，b)=E[Y-(a+bX)] ² ，求a，b使Q(a，b)达到最小值Qmin，并证明：

答案：【解】

解方程组

得

此时

设X，Y，Z是三个两两不相关的随机变量，数学期望全为零，方差都是1，求X-Y和Y-Z的相关系数．

答案：【解】Cov(X-Y，Y-Z)=Cov(X，Y)-Cov(X，Z)-Cov(Y，Y)+Cov(Y，Z)=-DY=-1，<...

将数字1，2，…，n随机地排列成新次序，以X表示经重排后还在原位置上的数字的个数．求X的分布律；

答案：【解】记A _i ={数字i在原位置上}，i=1，2，…，n，则

表示至少有一个数字在原位置上．则

显然有

将数字1，2，…，n随机地排列成新次序，以X表示经重排后还在原位置上的数字的个数．计算EX和DX．

答案：【解】令

则有

而

最后得

设二维随机变量(X，Y)的概率密度为

求：方差D(XY)；

答案：【解】D(XY)=E(X ² Y ² )-[E(XY)] ² ，
其中

所以，

设二维随机变量(X，Y)的概率密度为

求：协方差Cov(3X+Y，X-2Y)．

答案：【解】

(X，Y)关于X的边缘概率密度

由此得到

于是

设随机变量U在[-2，2]上服从均匀分布，记随机变量

求：Cov(X，Y)，并判定X与Y的独立性；

答案：【解】X，Y的全部可能取值都为-1，1，且

所以(X，Y)的分布律及边缘分布律为

从而

设随机变量X在(0，3)内随机取值，而随机变量Y在(X，3)内随机取值，求协方差Cov(X，Y)．

答案：【解】X的概率密度

在X=x∈(0，3)的条件下，

于是(X，Y)的概率密度...

设随机变量U在[-2，2]上服从均匀分布，记随机变量

求：D[X(1+Y)]．

答案：【解】D[X(1+Y)]=D(X+XY)=DX+D(XY)+2Cov(X，XY)
=DX+D(XY)+2E(X...

设X为随机变量，E(|X| ^r (r＞0)存在，试证明：对任意ε＞0有

答案：【证】若X为离散型，其概率分布为P{X=x _i }=p _i ，i=1，2，…，则

若X为连续型，其概率密度为f(x)，则

若DX=0.004，利用切比雪夫不等式估计概率P{|X-EX|＜0.2}．

答案：【解】由切比雪夫不等式

用切比雪夫不等式确定，掷一均质硬币时，需掷多少次，才能保证‘正面’出现的频率在0.4至0.6之间的概率不小于0.9．

答案：【解】设需掷n次，正面出现的次数为Y _n ，则

依题意应有

而

所以n≥250．