问答题

求幂级数
的和函数．

答案： [解] 幂级数

的收敛半径为R=1，收敛区间为(-1，1)．

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求幂级数
的收敛区间．

答案： [解] 由

得收敛半径为R=1，
当x=-1时，

发散；
当x=1时，

收敛，故幂级数

的收敛区间为(-1，1]．

求幂级数
的和函数．

答案： [解]

求幂级数
的收敛区间．

答案： [解] 由

得收敛半径为

当

时，

发散，故级数的收敛区间为

求幂级数
的收敛区间．

答案： [解] 令x-1=t，显然级数
的收敛半径为R=1，又当t=±1时，
由
收敛，得级数

求幂级数
的收敛区间．

答案： [解]

设
为两个正项级数．证明：

答案： [证明] 取ε₀=1，由
根据极限的定义，存在N＞0，当n＞N时，

设
为两个正项级数．证明：

答案： [证明] 根据(1)，当n＞N时，有0≤a _n ＜b _n ，因为

发散，所以

发散，由比较审敛法，

发散，进一步得

发散．

求幂级数
的和函数．

答案： [解] 由

得收敛半径为R=4，当x=±4时，因为

所以幂级数的收敛域为(-4，4)．

求幂级数
的和函数．

答案： [解] 幂级数

的收敛半径为R=1，收敛区间为(-1，1)．

求幂级数
的和函数．

答案： [解] 幂级数

的收敛半径为R=1，收敛区间为(-1，1)．

求幂级数
的和函数．

答案： [解] 幂级数

的收敛半径为R=+∞，收敛区间为(-∞，+∞)．

求幂级数
的收敛域，并求其和函数．

答案： [解]

则收敛半径为R=2，
当x=-2时，

收敛；
当x=2时，

发散，故幂级数的收敛域为[-2，2)．

求幂级数
的和函数．

答案： [解] 令x+1=t，

得收敛半径为R=1，当t=±1时，因为

所以收敛区间为-1＜t＜1，从而-2＜x＜0．

求级数
的收敛域与和函数．

答案： [解] 令x²+x+1=t，则级数化为
由
所以级数
的收敛半径为R...

求幂级数
的和函数S(x)及其极值．

答案： [解]

令
得唯一驻点x=0，当x＜0时，S"(x)＞0，当x＞0时，S"...

将f(x)=arctanx展开成x的幂级数．

答案： [解]

将
展开成x=2的幂级数．

答案： [解]

将f(x)=lnx展开成x-2的幂级数．

答案： [解]

将
展开成x的幂级数．

答案： [解]

设有幂级数
求该幂级数的收敛域；

答案： [解] 因为

所以收敛半径为R=+∞，故幂级数的收敛域为(-∞，+∞)．

设有幂级数
证明此幂级数满足微分方程y"-y=-1，

答案： [解]

故该幂级数满足微分方程y"-y=-1．

设有幂级数
求此幂级数的和函数．

答案： [解] 由f"(x)-f(x)=-1得f(x)=C₁e^-x+C_2<...

求幂级数
的收敛域及和函数．

答案： [解] 由

得该级数的收敛半径为R=1，因为当x=±1时，

发散，所以级数的收敛区间为(-1，1)．