问答题

设随机变量(X，Y)的联合密度为
．求：X，Y的边缘密度；

答案：解

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设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求X的分布．

答案：解
，则X的可能取值为0，1，2，3．
P(X=0)=P(X₁=1)=

设袋中有5个球，其中3个新球，2个旧球，从中任取3个球，用X表示3个球中的新球个数，求X的分布律与分布函数．

答案：解 X的可能取值为1，2，3，

所以X的分布律为

，分布函数为

设
求F(x)；

答案：解 F(x)=P{X≤x}=

当x＜-1时，F(x)=0；
当-1≤x＜0时，

设X的密度函数为
若P(X≥k)=
，求k的取值范围．

答案：解显然k＜6，当3＜k＜6时，
；
当1≤k≤3时，
’
当0≤k＜1时，

有三个盒子，第一个盒子有4个红球1个黑球，第二个盒子有3个红球2个黑球，第三个盒子有2个红球3个黑球，如果任取一个盒子，从中任取3个球，以X表示红球个数．写出X的分布律；

答案：解令A_k={所取的为第k个盒子}(k=1，2，3)，
，
X的可能取值为0，...

设
求
．

答案：解

设连续型随机变量X的分布函数为
求常数A，B；

答案：解因为连续型随机变量的分布函数是连续的，
所以有

，解得A=B=

．

有三个盒子，第一个盒子有4个红球1个黑球，第二个盒子有3个红球2个黑球，第三个盒子有2个红球3个黑球，如果任取一个盒子，从中任取3个球，以X表示红球个数．求所取到的红球数不少于2个概率．

答案：解

设连续型随机变量X的分布函数为
求X的密度函数f(x)；

答案：解

设连续型随机变量X的分布函数为
求
．

答案：解

设某个系统由六个相同的元件先经过两两串联再并联而成，且各元件工作状态相互独立．每个元件正常工作时间服从E(λ)(λ＞0)分布，求系统正常工作时间T的概率分布．

答案：解设T_i={第i个元件的正常工作时间}，T_i～E(λ)，i=1，2，…，6...

设随机变量X的密度函数为
求常数A；

答案：解因为

，所以

，解得

．

设X～N(μ，σ ² )，其分布函数为F(x)，对任意实数a，讨论F(-a)+F(a)与1的大小关系．

答案：解

则当μ＞0时，F(a)+F(-a)＜1；
当μ=0时，F(a)+F(-a)=1；<...

设随机变量X的密度函数为
求X在
内的概率；

答案：解

设X～N(0，1)，Y=X ² ，求Y的概率密度函数．

答案：解

，-∞＜x＜+∞．
F _Y (y)=P(Y≤y)=P(X ² ≤y)．
当y≤0时，F _Y (y)=0；
当y＞0时，

因此

设X～U(0，2)，Y=X ² ，求Y的概率密度函数．

答案：解

F _Y (y)=P(Y≤y)=P(X ² ≤y)
当y≤0时，F _Y (y)=0；
当y＞0时，

所以

设随机变量X的密度函数为
求X的分布函数F(x)．

答案：解

当

时，F(x)=0；
当

时，

；
当

时，F(x)=1，于是X的分布函数为

设X，Y的概率分布为
且P(XY=0)=1．求(X，Y)的联合分布；

答案：解因为P(XY=0)=1，所以P(X=-1，Y=1)=P(X=1，Y=1)=0，
P(X=-1，Y=0)=P...

设起点站上车人数X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为p(0＜p＜1)，且中途下车与否相互独立，以Y表示中途下车人数．求在发车时有n个乘客的情况下，中途有m个乘客下车的概率；

答案：解设A=(发车时有n个乘客)，B=(中途有m个人下车)，则
P(B|A)=P(Y=m|X=n)=
...

袋中有10个大小相等的球，其中6个红球4个白球，随机抽取2个，每次取1个，定义两个随机变量如下：

就下列两种情况，求(X，Y)的联合分布律：第一次抽取后放回；

答案：解 (X，Y)的可能取值为(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)．

设起点站上车人数X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为p(0＜p＜1)，且中途下车与否相互独立，以Y表示中途下车人数．求(X，Y)的概率分布．

答案：解 P(X=n，Y=m)=P(AB)=P(B|A)P(A)=

设X，Y的概率分布为
且P(XY=0)=1．X，Y是否独立

答案：解因为P(X=0，Y=0)=0≠P(X=0)P(Y=0)=

，所以X，Y不相互独立．

袋中有10个大小相等的球，其中6个红球4个白球，随机抽取2个，每次取1个，定义两个随机变量如下：

就下列两种情况，求(X，Y)的联合分布律：第一次抽取后不放回．

答案：解

设(X，Y)在区域D：0＜x＜1，|y|=x内服从均匀分布．求随机变量X的边缘密度函数；

答案：解 (X，Y)的联合密度函数为

则

设(X，Y)在区域D：0＜x＜1，|y|=x内服从均匀分布．设Z=2X+1，求D(Z)．

答案：解因为

，
所以D(X)=E(X ² )-[E(X)] ² =

，D(Z)=D(2X+1)=4D(X)=

．

设(X，Y)的联合概率密度为
求：(X，Y)的边缘密度函数；

答案：解当0＜x＜1时，

当x≤0或x≥1时，f _X (x)=0，所以

同理

随机变量(X，Y)的联合密度函数为
求常数A；

答案：解由

，得

．

设(X，Y)的联合概率密度为
求：Z=2X-Y的密度函数．

答案：解当z≤0时，F(z)=0；当z≥2时，F(z)=1；当0＜z＜2时，

所以

随机变量(X，Y)的联合密度函数为
求(X，Y)落在区域
内的概率．

答案：解令区域D：x ² +y ² ≤

，(X，Y)落在区域D内的概率为

设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动．求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度．

答案：解用X，Y分别表示两台记录仪先后开动无故障工作的时间，则T=X+Y，
由已知条件得X，Y的密度为
...

设X，Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(0，1)，求Z=2X-Y+3的密度．

答案：解因为X，Y相互独立且都服从正态分布，所以X，Y的线性组合仍服从正态分布，即
Z=2X-Y+3服从正态分布，...

设X在区间[-2，2]上服从均匀分布，令
．求：Y，Z的联合分布律；

答案：解因为X在区间[-2，2]上服从均匀分布，所以

(Y，Z)的可能取值为(-1，-1)，(-1，1...

设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为

则在Y=1的条件下求随机变量X的条件概率分布．

答案：解因为P(Y=1)=0.6，
所以

设X在区间[-2，2]上服从均匀分布，令
．求：D(Y+Z)．

答案：解由

得

则D(Y+Z)=2．

设二维随机变量(X，Y)的联合密度为
求c；

答案：解

设二维随机变量(X，Y)的联合密度为
求X，Y的边缘密度，问X，Y是否独立

答案：解当x≤0时，f_X(x)=0；当x＞0时，
．
当y≤0时，f_Y<...

设随机变量(X，Y)的联合密度为
．求：X，Y的边缘密度；

答案：解

设二维随机变量(X，Y)的联合密度为
求Z=max(X，Y)的密度．

答案：解当z≤0时，F_Z(z)=0；
当z＞0时，F_Z(z)=P(Z≤...

设随机变量(X，Y)的联合密度为
．求：
．

答案：解

设(X，Y)的联合密度函数为
求a；

答案：解由

，得a=1．

设一设备开机后无故障工作时间X服从指数分布，平均无故障工作时间为5小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障下工作2小时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时间Y的分布．

答案：解因为X～E(λ)，所以E(X)=
=5，从而
，根据题意有Y=min(X，2)．
当y...

设(X，Y)的联合密度函数为
求X，Y的边缘密度，并判断其独立性；

答案：解当x≤0时，f_X(x)=0；
当x＞0时，
．
于是
...

设
判断X，Y是否独立，说明理由；

答案：解 0＜x＜1时，

，则

因为当0＜y＜x＜1时，f(x，y)≠f _X (x)f _Y (y)，所以X，Y不独立．

设(X，Y)的联合密度函数为
求f _X|Y (x|y)．

答案：解

设
判断X，Y是否不相关，说明理由；

答案：解

因为Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=

，所以X，Y相关．

设随机变量X，Y相互独立且都服从标准正态分布，令U=X ² +Y ² ．求：f _U (u)；

答案：解因为X，Y相互独立且都服从标准正态分布，所以(X，Y)的联合密度函数为

设随机变量X，Y相互独立且都服从标准正态分布，令U=X ² +Y ² ．求：P{U＞D(U)|U＞E(U)}．

答案：解 E(U)=2，D(U)=4，
P{U＞D(U)|U＞E(U)}=P(U＞4|U＞2)=
，

设
求Z=X+Y的密度．

答案：解

，
当z＜0或z≥2时，f _Z (z)=0；
当0≤z＜1时，

当1≤z＜2时，

所以有

设X，Y相互独立，且
，Y～N(0，1)，令U=max(X，Y)，求P{1＜U≤1.96}(其中Φ(1)=0.841)．

答案：解 P(U≤u)=P{max(X，Y)≤u}=P{X≤u，Y≤u}=P(X≤u)P(Y≤u)，
P(U≤1.9...

设随机变量X～U(0，1)，Y～E(1)，且X，Y相互独立，求随机变量Z=X+Y的概率密度．

答案：解 X～U(0，1)，Y～E(1)

因为X，Y相互独立，所以

于是F