问答题

将函数f(x)=lnx展开成(x-1)的幂级数，并指出收敛区间．

答案：解：f(x)=lnx=ln[1+(x-1)]．
因为

从而

即

由|x-1|＜1知0＜x＜2，即收敛区间为(0，2)．

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设e ^x -e ^y =siny，求y"．

答案：解：对e ^x -e ^y =siny两边求导，得
e ^x -e ^y y"=(cosy)y"，
(e ^y +cosy)y"=e ^x ，

答案：解：

设y=xsinx，求y"．

答案：解：因为y=xsinx，
则y"=x"sinx+x(sinx)"=sinx+xcosx．

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的积分次序．

答案：解：由题设知
中积分区域的图形应满足1≤x≤e，0≤y≤lnx，因此积分区域的图形见下图中阴影部分．
...

将函数f(x)=lnx展开成(x-1)的幂级数，并指出收敛区间．

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因为

从而

即

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答案：解：所围图形见下图中阴影部分．

由

解得两曲线交点的x坐标为

．

求微分方程y"+9y=0的通解．

答案：解：y"+9y=0的特征方程为r ² +9=0，特征值为r1,2=±3i，故通解为y=C ₁ cos3x+C ₂ sin3x．

判定y=x-sinx在[0，2π]上的单调性．

答案：解：因为在[0，2π]内，y"=1-cosx≥0，可知在[0，2x]上y=x-sinx单调增加．