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问答题
计算
计算
其中L是双纽线(x
2
+y
2
)
2
=a(x
2
一y
2
)(a＞0)．
答案：
正确答案：由对称性，有
其中L1为L在第一象限部分，将L1的方程化...
其中L1为L在第一象限部分，将L1的方程化...
你可能感兴趣的试题
，其中L为x
2
+y
2
=ax(a＞0)的下半部分．
所以
，其周长记为a，求
关于x轴对称，而xy关于y是奇函数，因此
又
故
其中L为球面x
2
+y
2
+z
2
=R
2
与平面x+y+z=0的交线．
所以
之间的一块面积，其中R＞0．
问答题
设曲线L是
设曲线L是
在第一象限内的一段．(1)求L的长度s；(2)当线密度ρ=1时，求L的质心
(3)当线密度ρ=1时，求L关于z轴和y轴的转动惯量．
答案：
正确答案：设L的参数方程为x=acos
3
t，y=asin
3
t，
(1)
(2)由曲线的对称性知
即L的质心为
(3)
由对称性知
(1)
(2)由曲线的对称性知
即L的质心为
(3)
由对称性知
问答题
计算∫ Γ x 2 dx+y 2 dy+z 2 dz，其中Γ是从点(1，1，1)到点(2，3，4)的直线段．
答案：
正确答案：设Γ的参数方程为x=t+1，y=2t+1，z=3t+1，t：0→1．则 ∫Γx...
，其中L是由曲线x
2
+y
2
=2y，x
2
+y
2
=4y，
所围成的区域的边界，按顺时针方向．
问答题
计算
计算
其中L是以(1，0)为中心，R为半径的圆周(R＞1)，取逆时针方向．积分曲线如图6-9．
答案：
正确答案：由于
故此曲线积分与路径无关． 取l：4x
2
+y
2
=1，取逆时针方向，则
故此曲线积分与路径无关． 取l：4x
2
+y
2
=1，取逆时针方向，则
(1)验证它是某个二元函数u(x，y)的全微分；(2)求出u(x，y)；(3)计算
问答题
计算
计算
(y
2
-z
2
)dx+(2z
2
一x
2
)dy+(3x
2
一y
2
)dz，其中L是x+y+z=2与|x|+|y|=1的交线，从z轴正向看L为逆时针方向．
答案：
正确答案：取∑：x+y+z=2，取上侧，D
xy
：|x|+|y|≤1．由斯托克斯公式，得
问答题
在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asin x(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的曲线积分∫ L (1+y 3 )dx+(2x+y)dy的值最小．
答案：
正确答案：取L：y=asin x,x：0→π(a＞0)．则 I(a)=∫L(1+y3
问答题
在变力F=yzi+zxj+xyk的作用下，质点由原点O沿直线运动到椭球面
在变力F=yzi+zxj+xyk的作用下，质点由原点O沿直线运动到椭球面
上第一卦限的点M(x
0
，y
0
，z
0
)，问当x
0
，y
0
，z
0
取何值时，力F所做的功W最大并求出W的最大值．
答案：
正确答案：设由O(0，0，0)到M(x0，y0,z0)...
被柱面x
2
+y
2
=2x所截得的部分．
的边界曲面．
∑
2
：z=1，D
xy
：x
2
+y
2
≤1，ds=dxdy．则
其中∑：x
2
+y
2
+z
2
=a
2
．
在第一卦限的部分．
其中∑的方程为|x|+|y|+|z|=1．
，其中t＞0．
的质量，此抛物面壳的面密度为z．
取下侧，D
xy
:x
2
+y
2
≤1．则
问答题
计算
计算
+y
3
dzdx+(z
3
+x
2
+y
2
)dxdy，其中∑为上半球面
(a＞0)的上侧．
答案：
正确答案： 设∑
1
：z=0．D
xy
：x
2
+y
2
≤a
2
，取下侧．
其中∑为下半球面
的上侧，a为大于零的常数．
设∑
1
：z=0取下侧，D
xy
：x
2
+y
2
≤a
2
，则∑+∑
1
为封闭曲面，取内侧由高斯公式，
问答题
设对于半空间x＞0内的任意光滑有向封闭曲面∑，都有
设对于半空间x＞0内的任意光滑有向封闭曲面∑，都有
xf(x)dydz一xyf(x)dzdx一e
2x
dxdy=0，
其中函数f(x)在(0，+∞)内具有连续的一阶导数，且
，求f(x)．
答案：
正确答案：
由∑的任意性，有f(x)+xf"(x)一xf(x)一e
2x
=0．
由∑的任意性，有f(x)+xf"(x)一xf(x)一e
2x
=0．
问答题
设F(x，y，z)=zarctan y 2 i+z 3 ln(x 2 +1)j+zk，求F通过抛物面x 2 +y 2 +z=2位于平面z=1的上方的那一块流向上侧的流量．
答案：
正确答案：记这块曲面为∑，则∑在xOy平面上的投影域为Dxy：x2+y
