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问答题
设f(x)二阶可导，
设f(x)二阶可导，
且f"(x)＞0．证明：当x≠0时，f(x)＞x．
答案：
[证明] 由
，得f(0)=0，f"(0)=1，
又由f"(x)＞0且x≠0，所以f(x)＞f(0)+f"(0)x=x．
，得f(0)=0，f"(0)=1，
又由f"(x)＞0且x≠0，所以f(x)＞f(0)+f"(0)x=x．
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问答题
设f(x)在[0，1]上二阶可导，且|f(x)|≤a，|f(x)|≤b，其中a，b都是非负常数，c为(0，1)内任意一点．写出f(x)在x=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；
答案：
[证明] f(x)=f(c)+f"(c)(x-c)+
，其中ξ介于c与x之间．
，其中ξ介于c与x之间．
问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且f" + (a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)＜0．
答案：
[证明] 因为
，所以存在δ＞0，当0＜x-a＜δ时，有
，从而f(x)＞f(a)，于是存在c∈(a...
，所以存在δ＞0，当0＜x-a＜δ时，有
，从而f(x)＞f(a)，于是存在c∈(a...
问答题
设f(x)在[-a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，
设f(x)在[-a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，
存在．写出f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式；
答案：
解 由
存在，得f(0)=0，f"(0)=0，f"(0)=0，
则f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林...
存在，得f(0)=0，f"(0)=0，f"(0)=0，
则f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林...
问答题
设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f"
+
(a)f"
-
(b)＞0，
设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f"
+
(a)f"
-
(b)＞0，
且g(x)≠0(x∈[a，b])，g"(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得
．
答案：
[证明] 设f"+(a)＞0，f"-(b)＞0，
由f"...
由f"...
问答题
设f(x)二阶可导，f(0)=0，且f"(x)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有
设f(x)二阶可导，f(0)=0，且f"(x)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有
f(a+b)＞f(a)+f(b)．
答案：
[证明] 不妨设a≤b，由微分中值定理，存在ξ1∈(0，a)，ξ2∈(b，a...
问答题
设f(x)在[a，b]上连续，且f"(x)＞0，对任意的x
1
，x
2
∈[a，b]及0＜λ＜1，证明：
设f(x)在[a，b]上连续，且f"(x)＞0，对任意的x
1
，x
2
∈[a，b]及0＜λ＜1，证明：
f[λx
1
+(1-λ)x
2
]≤λf(x
1
)+(1-λ)f(x
2
)．
答案：
[证明] 令x0=λx1+(1-λ)x2，则x
存在．证明：存在ξ
1
，ξ
2
∈[-a，a]，使得
问答题
设f(x)在[0，1]上二阶可导，且|f(x)|≤a，|f(x)|≤b，其中a，b都是非负常数，c为(0，1)内任意一点．证明：
设f(x)在[0，1]上二阶可导，且|f(x)|≤a，|f(x)|≤b，其中a，b都是非负常数，c为(0，1)内任意一点．证明：
．
答案：
[证明] 分别令x=0，x=1，得
两式相减，得
，利用已知条件，得
因为c 2 +(1-c) 2 ≤1，所以
．
两式相减，得
，利用已知条件，得
因为c 2 +(1-c) 2 ≤1，所以
．
问答题
设f(x)在x
0
的邻域内四阶可导，且|f
(4)
(x)|≤M(M＞0)．证明：对此邻域内任一异于x
0
的点x，有
设f(x)在x
0
的邻域内四阶可导，且|f
(4)
(x)|≤M(M＞0)．证明：对此邻域内任一异于x
0
的点x，有
其中x"为x关于x
0
的对称点．
答案：
[证明] 由f(x)=f(x0)+f"(x0)(x-x0
问答题
设f(x)二阶可导，
设f(x)二阶可导，
且f"(x)＞0．证明：当x≠0时，f(x)＞x．
答案：
[证明] 由
，得f(0)=0，f"(0)=1，
又由f"(x)＞0且x≠0，所以f(x)＞f(0)+f"(0)x=x．
，得f(0)=0，f"(0)=1，
又由f"(x)＞0且x≠0，所以f(x)＞f(0)+f"(0)x=x．
问答题
设f(x)在[0，+∞)内可导且f(0)=1，f"(x)＜f(x)(x＞0)．证明：f(x)＜e x (x＞0)．
答案：
[证明] 令φ(x)=e-xf(x)，则φ(x)在[0，+∞)内可导，
又φ(0)=1，...
又φ(0)=1，...
．
．
问答题
设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f"(0)=f(1)=f"(1)=0．证明：方程f"(x)-f(x)=0在(0，1)内有根．
答案：
[证明] 令φ(x)=e-x[f(x)+f"(x)]．
因为φ(0)=φ(1)=0，所以...
因为φ(0)=φ(1)=0，所以...
问答题
设f(x)在[0，+∞)内二阶可导，f(0)=-2，f"(0)=1，f"(x)≥0．证明：f(x)=0在(0，+∞)内有且仅有一个根．
答案：
[证明] 因为f"(x)≥0，所以f"(x)单调不减，当x＞0时，f"(x)≥f"(0)=1．
当x＞0时，f...
当x＞0时，f...
．
在(0，+∞)内恰有一根，求k的取值范围．
．
，同理
，所以原式=2．
问答题
设f(x)二阶连续可导且f(0)=f"(0)=0，f"(x)＞0．曲线y=f(x)上任一点(x，f(x))(x≠0)处作切线，此切线在z轴上的截距为u，求
设f(x)二阶连续可导且f(0)=f"(0)=0，f"(x)＞0．曲线y=f(x)上任一点(x，f(x))(x≠0)处作切线，此切线在z轴上的截距为u，求
．
答案：
解 曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线方程为Y-f(x)=f"(x)(X-x)，
令Y=0得
令Y=0得
其中g(x)二阶连续可导，且g(0)=1．确定常数a，使得f(x)在x=0处连续；
，
问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f" + (a)f" - (b)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=0．
答案：
[证明] 不妨设f"+(a)＞0，f"-(b)＜0，根据极限的保号性，由
问答题
设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f"(1)=0，
设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f"(1)=0，
．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f""(ξ)=2．
答案：
[证明] 方法一 先作一个函数P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得P(0...
问答题
设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b)．
设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b)．
证明：存在ξ
i
∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得
答案：
[证明] 令
，因为f(x)在[a，b]上连续且单调增加，且f(a)=a＜b=f(b)，
所以f(a...
，因为f(x)在[a，b]上连续且单调增加，且f(a)=a＜b=f(b)，
所以f(a...
其中g(x)二阶连续可导，且g(0)=1．求f"(x)；
，
其中g(x)二阶连续可导，且g(0)=1．讨论f"(x)在x=0处的连续性．
，所以f"(x)在x=0处连续．
问答题
设f(x)在x=x
0
的邻域内连续，在x=x
0
的去心邻域内可导，且
设f(x)在x=x
0
的邻域内连续，在x=x
0
的去心邻域内可导，且
．证明：f"(x
0
)=M．
答案：
[证明] 由微分中值定理得f(x)=f(x0)=f"(ξ)(x-x0)，其中...
问答题
设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=
设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=
答案：
[证明] 令φ(x)=(x-1)2f"(x)，显然φ(x)在[0，1]上可导．由f(0)=f(1)...
问答题
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的a＞0，b＞0，存在ξ，η∈(0，1)，使得
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的a＞0，b＞0，存在ξ，η∈(0，1)，使得
答案：
[证明] 因为f(x)在[0，1]上连续，f(0)=0，f(1)=1，且
，所以由端点介值定理，存在c∈(0，...
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问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，
．证明：存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；
答案：
[证明] 令
，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F"(x)=\f(x)．故存在c∈(a，b...
，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F"(x)=\f(x)．故存在c∈(a，b...
问答题
设a
1
＜a
2
＜…＜a
n
，且函数f(x)在[a
1
，a
n
]上n阶可导，c∈[a
1
，a
n
]且f(a
1
)=f(a
2
)=…=f(a
n
)=0．证明：存在ξ∈(a
1
，a
n
)，使得
设a
1
＜a
2
＜…＜a
n
，且函数f(x)在[a
1
，a
n
]上n阶可导，c∈[a
1
，a
n
]且f(a
1
)=f(a
2
)=…=f(a
n
)=0．证明：存在ξ∈(a
1
，a
n
)，使得
答案：
[证明] 当c=ai(i=1，2，…，n)时，对任意的ξ∈(a1，a
问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，
．证明：存在ξ
i
∈(a，b)(i=1，2)，且ξ
1
≠ξ
2
，使得f"(ξ
i
)+f(ξ
i
)=0(i=1，2)；
答案：
[证明] 令h(x)=exf(x)，因为h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ<...
问答题
设f(x)二阶连续可导，且f"(x)≠0，又f(x+h)=f(x)+f"(x+θh)h(0＜θ＜1)．证明：
设f(x)二阶连续可导，且f"(x)≠0，又f(x+h)=f(x)+f"(x+θh)h(0＜θ＜1)．证明：
．
答案：
[证明] 由泰勒公式得
f(x+h)=f(x)+f"(x)h+
，其中ξ介于x与x+h之间．
f(x+h)=f(x)+f"(x)h+
，其中ξ介于x与x+h之间．
问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，
．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=f(ξ)；
答案：
[证明] 令φ(x)=e-x[f"(x)+f(x)]，φ(ξ1)=φ(ξ
问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，
．证明：存在η∈(a，b)，使得f"(η)-3f"(η)+2f(η)=0．
答案：
[证明] 令g(x)=e-xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，
由罗尔定理，存...
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问答题
设平面曲线L上一点M处的曲率半径为ρ，曲率中心为A，AM为L在点M处的法线，法线上的两点P，Q分别位于L的两侧，其中P在AM上，Q在AM的延长线AN上，若P，Q满足|AP|·|AQ|=ρ
2
，称P，Q关于L对称．设
设平面曲线L上一点M处的曲率半径为ρ，曲率中心为A，AM为L在点M处的法线，法线上的两点P，Q分别位于L的两侧，其中P在AM上，Q在AM的延长线AN上，若P，Q满足|AP|·|AQ|=ρ
2
，称P，Q关于L对称．设
，P点的坐标为
．求点M，使得L在M点处的法线经过点P，并写出法线的参数方程；
答案：
解 设点M(x，y)∈L，则
，解得x=1，所以M的坐标为
．
法线方程为
，解得x=1，所以M的坐标为
．
法线方程为
问答题
设f(x)在[0，1]连续可导，且f(0)=0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得
设f(x)在[0，1]连续可导，且f(0)=0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得
．
答案：
[证明] 因为f"(x)在区间[0，1]上连续，所以f"(x)在区间[0，1]上取到最大值M和最小值m，对f(x)-f(...
问答题
设平面曲线L上一点M处的曲率半径为ρ，曲率中心为A，AM为L在点M处的法线，法线上的两点P，Q分别位于L的两侧，其中P在AM上，Q在AM的延长线AN上，若P，Q满足|AP|·|AQ|=ρ
2
，称P，Q关于L对称．设
设平面曲线L上一点M处的曲率半径为ρ，曲率中心为A，AM为L在点M处的法线，法线上的两点P，Q分别位于L的两侧，其中P在AM上，Q在AM的延长线AN上，若P，Q满足|AP|·|AQ|=ρ
2
，称P，Q关于L对称．设
，P点的坐标为
．求点P关于L的对称点Q的坐标．
答案：
解 y"=x，y"=1，曲率
曲率中心为
，由|AP|·|AQ|=ρ
2
，
即
，
解得
，则Q的坐标为
．
曲率中心为
，由|AP|·|AQ|=ρ
2
，
即
，
解得
，则Q的坐标为
．
