问答题

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α₁=(-1，2，-1)^T，α₂=(0，-1，1)^T是线性方程组Ax=0的两个解．求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得^TAQ=A．

答案：解1 对α₁，α₂正交化．令ξ₁=α₁

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假设λ为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明：
为A^-1的特征值；

答案：证由已知，有非零向量ξ满足Aξ=λξ，两端左乘A^-1，得ξ=λA^-1ξ．因...

已知矩阵

与
相似．求x与y；

答案：解1 因A与B相似，故｜λE-A｜=｜λE-B｜，即

亦即 (λ-2)(λ²-x...

设3阶矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=3，对应的特征向量依次为
．又向量
．将β用ξ₁，ξ₂，ξ₃线性表出．

答案：解设β=x₁ξ₁+x₂ξ₂+x₃ξ₃，即

由

得唯一解x₁=2，x₂=-2，x₃=1，故β=2ξ₁一2ξ₂+ξ₃．

假设λ为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明：
为A的伴随矩阵A^*的特征值．

答案：由于，于是由(1)有，从而有，所以为A^*的特征值．

已知矩阵

与
相似．求一个满足P^-1AP=B的可逆矩阵P．

答案：有

计算可得A的对应于特征值2，1，-1的特征向量分别可取为

因p₁

设3阶矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=3，对应的特征向量依次为
．又向量
．求Aⁿβ(n为自然数)．

答案：解1 Aⁿβ=Aⁿ(2ξ₁一2ξ₂

已知
是矩阵
的一个特征向量．试确定参数a、b及特征向量ξ所对应的特征值；

答案：解由即解得 a=-3，b=0，λ=-1．

设3阶矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=3，对应的特征向量依次为
．又向量
．设3阶实对称矩阵A的特征值为λ₁=-1，λ₂=λ₃=1，对应于λ₁的特征向量为ξ₁=(0，1，1)^T，求A．

答案：解对应于λ₂=λ₃=1有两个线性无关的特征向量ξ₂，...

已知
是矩阵
的一个特征向量．问A能否相似于对角阵说明理由．

答案：由知λ=-1是A的3重特征值．但从而λ=-1对应的线性无关特征向量只有1个，故A不能相似于对角阵．

某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将
熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐．新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有
成为熟练工．设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为x_n和y_n，记成向量
．求
与
的关系式并写成矩阵形式：
；

答案：解由题设，有化简得即于是

已知
是矩阵
的一个特征向量．设矩阵
其行列式｜A｜=-1，又A的伴随矩阵A^*有一个特征值为λ₀，属于λ₀的一个特征向量为α=(-1，-1，1)^T，求a、b、c和λ₀的值．

答案：解由题设，有
A^*α=λ₀α
两端左乘A，并利用AA

某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将
熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐．新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有
成为熟练工．设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为x_n和y_n，记成向量
．验证
是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；

答案：由于η₁与η₂的对应分量不成比例，故η₁与η_...

某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将
熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐．新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有
成为熟练工．设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为x_n和y_n，记成向量
．当
，求
．

答案：令矩阵，则有，故于是因此

设A，B为同阶方阵，如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等．

答案：证由A，B相似知，存在可逆方阵P，使P^-1AP=B，故
｜λE-B｜=｜λE-P

设A，B为同阶方阵，举一个二阶方阵的例子说明逆命题不成立．

答案：令，则有
｜λE-A｜=λ²=｜λE-B｜，
但A，B不相似．否则，存在可逆矩阵P...

设矩阵
的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．

答案：解 A的特征多项式为若λ=2是f(λ)的二重根，则有，解得a=-2．当a=-2时，A的特征值为2，2，6，矩阵的秩...

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α₁=(-1，2，-1)^T，α₂=(0，-1，1)^T是线性方程组Ax=0的两个解．求A的特征值与特征向量；

答案：解1 由于矩阵A的各行元素之和均为3，所以

因为Aα₁=0，Aα₂

设A，B为同阶方阵，当A，B均为实对称矩阵时，试证逆命题成立．

答案：由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵．若A，B的特征多项式相等，则A与B有相同的特征值，设A(B)的全部特征值...

设矩阵
的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．

答案：若λ=2不是f(λ)的二重根，则λ²-8λ+18+3a为完全平方，从而18+3a=16，解得．

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α₁=(-1，2，-1)^T，α₂=(0，-1，1)^T是线性方程组Ax=0的两个解．求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得^TAQ=A．

答案：解1 对α₁，α₂正交化．令ξ₁=α₁

设3阶实对称矩阵A的特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₃=-2，且α₁=(1，-1，1)^T是A的属于λ₁的一个特征向量．记B=A⁵-4A³+E，其中E为3阶单位矩阵．验证α₁是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

答案：解记矩阵A的属于特征值λ_i的特征向量为α_i(i=1，2，3)，由特征值的定...

设A，B为同阶方阵，设矩阵
，矩阵B=P^-1A^P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A^为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

答案：本题是三阶方阵的一系列常规计算问题，按部就班也不难作出来．但如果利用相似矩阵及矩阵特征值的一些常用性质(例如：(1)若A...

设3阶实对称矩阵A的特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₃=-2，且α₁=(1，-1，1)^T是A的属于λ₁的一个特征向量．记B=A⁵-4A³+E，其中E为3阶单位矩阵．求矩阵B．

答案：知α₁，ξ₂，ξ₃为B的3个线性无关的特征向量，令矩阵

则有
从而有