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问答题
用正交变换法化二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 一4x 1 x 2 一4x 1 x 2 一4x 2 x 3 为标准二次型．
答案：
正确答案：f(x1，x2，x3)=XT
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答案：
正确答案：f(x1，x2，x3)=XT
问答题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
AX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=0，其中
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
AX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=0，其中
求正交变换X=QY将二次型化为标准形；
答案：
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答案：
正确答案：A=
，因为二次型的秩为2，所以r(A)=2，从而a=2．
，因为二次型的秩为2，所以r(A)=2，从而a=2．
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答案：
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答案：
正确答案：A=
，由|λE一A|=0得λ1=λ2=2，λ...
，由|λE一A|=0得λ1=λ2=2，λ...
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答案：
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问答题
设A为n阶实对称可逆矩阵，f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=
设A为n阶实对称可逆矩阵，f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=
记X=(x
1
，x
2
，…，x
n
)
T
，把二次型f(x
1
，x
2
，…，x
n
)写成矩阵形式；
答案：
正确答案：f(X)=(x1，x2…，xn)
...
...
问答题
设A为n阶实对称可逆矩阵，f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=
设A为n阶实对称可逆矩阵，f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=
二次型g(X)=X
T
AX是否与f(x
1
，x
2
，…，x
n
)合同？
答案：
正确答案：因为A可逆，所以A的n个特征值都不是零，而A与A一1合同，故二次型f(x1
问答题
设二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +2x 3 2 +2tx 1 x 2 +2x 1 x 3 为正定二次型，求t的范围．
答案：
正确答案：二次型的矩阵为A=
，因为该二次型为正定二次型，所以有
解得
，因为该二次型为正定二次型，所以有解得
问答题
用配方法化下列二次型为标准形：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 2 2 一5x 3 2 +2x 1 x 2 —2x 1 x 3 +2x 2 x 3 ．
答案：
正确答案：令A=
，则f(x1，x2，x3)...
，则f(x1，x2，x3)...
为正定矩阵，令P=
求P
T
CP；
为正定矩阵，所以A
T
=A，D
T
=D，P
T
CP=
问答题
二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +ax 2 2 +x 3 2 一4x 1 x 2 一8x 1 x 3 一4x 2 x 3 经过正交变换化为标准形5y 1 2 +by 2 2 一4y 3 2 ，求：正交变换的矩阵Q．
答案：
正确答案：将λ1=λ2=5代入(λE一A)X=0，即(5E一A)X=0， 由...
合同，且C为正定矩阵，所以
为正定矩阵，故A与D一BA
一1
B
T
都是正定矩阵．
