问答题

设A为m×n矩阵。证明：对任意m维列向量b，非齐次线性方程组Ax=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m。

答案：正确答案：必要性：由必要性假定，对ε_i=(0，…，0，1，0，…，0)^T(...

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已知α ₁ =(1，0，2，3)，α ₂ =(1，1，3，5)，α ₃ =(1，一1，a+2，1)，α ₄ =(1，2，4，a+8)，β=(1，1，b+3，5)。a、b为何值时，β不能表示成α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ 的线性组合

答案：正确答案：a=一1且b≠0

已知线性方程组
的一个基础解系为：(b ₁₁ ，b ₁₂ ，…，b _1,2n )T，(b ₂₁ ，b ₂₂ ，…，b _2,2n ) ^T ，…，(b _n1 ，b ₁₂ ，…，b _1,2n ) ^T 。试写出线性方程组
的通解，并说明理由。

答案：正确答案：记方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)的系数矩阵分别为A、B，则可以看出题给的(Ⅰ)的基础解系中的挖个向量就是B的n个行向量的...

问λ为何值时，线性方程组
有解，并求出解的一般形式。

答案：正确答案：当且仅当λ=1时有解，通解为x=(1，一1，0) ^T +c(一1，2，1) ^T 。

设矩阵A、B的行数都是m，证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A|B)。

答案：正确答案：设B、X按列分块分别为B=[b₁b₂…b_p]...

设α ₁ ，α ₂ ，…，α _m 为线性方程组Ax=0的一个基础解系， β ₁ =t ₁ α ₁ +t ₂ α ₂ ，β ₂ =t ₁ α ₂ +t ₂ α ₃ ，…，β _m =t ₁ α _m +t ₂ α ₁ ，其中t ₁ ，t ₂ 为实常数，试问t ₁ ，t ₂ 满足什么关系时，β ₁ ，β ₂ ，…，β _m 也为Ax=0的一个基础解系。

答案：正确答案：由Ax=0的解的线性组合都是Ax=0的解，知β₁，…，β_m均为Ax...

设4元齐次线性方程组(Ⅰ)为
，又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k ₁ (0，1，1，0) ^T +k ₂ (一1，2，2，1) ^T 。求线性方程组(Ⅰ)的基础解系；

答案：正确答案：(0，0，1，0) ^T ，(一1，1，0，1) ^T

已知α ₁ =(1，0，2，3)，α ₂ =(1，1，3，5)，α ₃ =(1，一1，a+2，1)，α ₄ =(1，2，4，a+8)，β=(1，1，b+3，5)。a、b为何值时，β可表示成α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ 的线性组合并写出该表示式。

答案：正确答案：当a≠一1时，β可由α₁，α₂，α₃，α

设4元齐次线性方程组(Ⅰ)为
，又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k ₁ (0，1，1，0) ^T +k ₂ (一1，2，2，1) ^T 。问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由。

答案：正确答案：有非零公共解，所有非零公共解为c(一1，1，1，1)^T(c为任意非零常数)。将(Ⅱ)的通...

设
X=(x _ij ) _3×3 ，问a、b、c各取何值时，矩阵方程AX=B有解并在有解时，求出全部解。

答案：正确答案：由下列矩阵的初等行变换：
于是若将矩阵B按列分块为B=[b₁b₂

设A为m×n矩阵。证明：对任意m维列向量b，非齐次线性方程组Ax=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m。

答案：正确答案：必要性：由必要性假定，对ε_i=(0，…，0，1，0，…，0)^T(...

设齐次线性方程组A _m×n x=0的解全是方程b ₁ x ₁ +b ₂ x ₂ +…+b _n x _n =0的解，其中x=(x ₁ ，x ₂ ，…，x _n ) ^T 。证明：向量b=(b ₁ ，b ₂ ，…，b _n )可由A的行向量组线性表出。

答案：正确答案：由条件知方程组Ax=0与方程组
，因此A的极大无关行向量组也是
的极大无关行向量组，故6可...

设矩阵A=(a _ij ) _n×n 的秩为n，a _ij 的代数余子式为A _ij (i，j=1，2，…，n)。记A的前r行组成的r×n矩阵为B，证明：向量组
是齐次线性方程组Bx=0的基础解系。

答案：正确答案：r(B)=r，
方程组Bx=0的基础解系含n—r个向量，故只要证明α₁，α

设A ^* 为n阶方阵A的伴随矩阵(n≥2)。证明：

答案：正确答案：当r(A)=n时，|A|≠0，|A^*|=|A|^n-1≠0，

λ取何值时，方程组
无解、有唯一解、有无穷多组解在有无穷多解时，试用其导出组的基础解系表示全部解。

答案：正确答案：当λ≠一2且λ≠1时有唯一解：当λ=一2时无解；当λ一1时有无穷多组解，通解为x=(一2，0，0)^T...

参数p、t各取何值时，方程组
有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解。

答案：正确答案：由增广矩阵的初等行变换：

已知下列非齐次线性方程组(Ⅰ)(Ⅱ)：
求解方程组(Ⅰ)，用其导出组的基础解系表示通解；

答案：正确答案：x=(一2，一4，一5，0) ^T +k(1，1，2，1) ^T ；

已知下列非齐次线性方程组(Ⅰ)(Ⅱ)：
当(Ⅱ)中的参数m，n，t为何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解。

答案：正确答案：将(Ⅰ)的通解x=(x₁，x₂，x₃，x

已知线性方程组
a，b，c满足何种关系时，方程组仅有零解

答案：正确答案：系数行列式|A|=(b-a)(c—n)(c一6)，故当a，b，c两两不相等时，方程组仅有零解。

已知线性方程组
a，b，c满足何种关系时，方程组有无穷多组解并用基础解系表示全部解。

答案：正确答案：当a=b≠c时，全部解为x=k₁(1，一1，0)^T；当a=c≠b时...

设α ₁ ，α ₂ ，…，α _k (k＜n)是R ⁿ 中k个线性无关的列向量。证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α ₁ ，α ₂ ，…，α _k 为其前k列。

答案：正确答案：取齐次线性方程组
的基础解系ξ₁，…，ξ_n-k，则可证明...

设有向量组(Ⅰ)：α ₁ =(1，0，2) ^T ，α ₂ =(1，1，3) ^T ，α ₃ =(1，一1，a+2) ^T 和向量组(Ⅱ)：β ₁ =(1，2，a+3) ^T ，β ₂ =(2，1，a+6) ^T ，β ₃ =(2，1，a+4) ^T 。试问：当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价

答案：正确答案：由于行列式|α₁，α₂，α₃|=a+1，故当...

已知平面上三条不同直线的方程分别为 l ₁ ：ax+2by+3c=0 l ₂ ：bx+2cy+3a=0 l ₃ ：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．

答案：正确答案：考虑由三直线方程联立所得线性方程组

设m×m矩阵A的秩为r，且r＜m，已知向量η是非齐次线性方程组Ax=b的一个解。试证：方程组Ax=b存在n一r+1个线性无关的解，而且这n一r+1个解可以线性表示方程组Ax=b的任一解。

答案：正确答案：由秩(A)=r＜n，知方程组AX=0的基础解系含n一r个向量，设Ax=0的基础解系为： ξ₁

设有齐次线性方程组
试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。

答案：正确答案：对方程组的系数矩阵A作初等行变换：
(1)当a=0时，r(A)=1＜n，故方程组有非零解，其同解方程...

已知(1，一1，1，一1) ^T 是线性方程组
的一个解，试求 (1)该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (2)该方程组满足x ₂ =x ₃ 的全部解。

答案：正确答案：将解向量x=(1，一1，1，一1) ^T 代入方程组，得λ=μ，对方程组的增广矩阵施行初等行变换：

已知3阶矩阵A的第1行是(a，b，c)，矩阵B=
(k为常数)，且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解。

答案：正确答案：由于AB=0，知B的每一列都是方程组Ax=0的解，因此Ax=0至少有r(B)个线性无关解，所以Ax=0的基础解...

已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解。证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；

答案：正确答案：若ξ₁，ξ₂，ξ₃是Ax=b的3个线性无关解...

已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解。求a，b的值及方程组的通解。

答案：正确答案：a=2，b=一3，通解x=(2，一3，0，0) ^T +k ₁ (一2，1，1，0) ^T +k ₂ (4，一5，0，1) ^T 。