问答题

设曲线
(Ⅰ)求曲线积分
，其中，
是由原点沿曲线L到点A(0，0，π)的有向曲线； (Ⅱ)记由曲线L(0≤z≤π)绕z轴旋转一周而成的曲面(外侧)为Σ，求曲面积分

答案： (Ⅰ)OA如图所示，由于 (其中D是由围成的区域) (Ⅱ)由于是闭曲面，所以 (其中，Ω是由Σ围成的立体) (...

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求不定积分

答案：

已知f_n(x)满足
及
，求

答案：由于f_n(x)满足

所以，

将代入上式得C=0，所以从而

此外，s(0)=0．所以

已知二元连续函数f(x，y)满足
，g(x，y)满足
y)=1及g(0，0)=0．求二重积分
，其中D是由曲线x=y²及直线x=1围成的平面图形．

答案：由于(其中，u=x-t)，
所以从而f(0，y)=y，且

由此得到f(x，y)=ye^...

设曲线
(Ⅰ)求曲线积分
，其中，
是由原点沿曲线L到点A(0，0，π)的有向曲线； (Ⅱ)记由曲线L(0≤z≤π)绕z轴旋转一周而成的曲面(外侧)为Σ，求曲面积分

答案： (Ⅰ)OA如图所示，由于 (其中D是由围成的区域) (Ⅱ)由于是闭曲面，所以 (其中，Ω是由Σ围成的立体) (...

设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且
，f(b)=0．此外存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，f′(c)＜0．证明：存在ξ∈ (a，b)，使得f″(ξ)=0．

答案： c将[a，b]分成两个小区间[a，c]与[c，b].
由于，所以存在x₁∈(a，c)，使得...

设向量组α₁=(1，0，a)^T，α₂=(0，1，1)^T，α₃=(b，3，5)^T不能由向量组β₁=(1，1，1)T，β₂=(1，2，3)^T，β₃=(3，4，b)^T线性表示，但β₁，β₂，β₃可由向量组α₁，α₁+α₂，α₁+α₂+α₃线性表示，求常数a，b．

答案：由于α₁，α₂，α₃不能由β₁，...

设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx在正交变换x=Qy(其中x=(x₁，x₂，x₃)^T，y=(y₁，y₂，y₃)^T以及Q是三阶正交矩阵)下的标准形为
，且Q的第3列为
，求对称矩阵A的伴随矩阵A^*．

答案：由f(x₁，x₂，x₃)在正交变换x=Qy下的标准形为...

设二维随机变量(X，Y)的概率密度为
求(Ⅰ)随机变量Z=X²的概率密度f_Z(z)； (Ⅱ)随机变量W=(X-Y)²的数学期望．

答案： (Ⅰ)关于X的边缘概率密度

记Z的分布函数为F(z)，则F(z)=P(Z≤z)．
当z≤0时，...

(Ⅰ)设总体X的概率分布为

X 1 2 3

P 1-θ θ-θ² θ²
(其中，θ∈(0，1)是未知参数)．以N_i表示来自总体X的简单随机样本X₁，X₂，…，X_n中取值等于i的个数(i=1，2，3)，求常数a₁，a₂，a₃，使得
为θ的无偏估计量． (Ⅱ)当n=300，θ=0.5时，用中心极限定理计算上述样本中取值等于2的N₂的概率P(N₂＞80)．(标准正态分布函数Φ(x)的值：Φ(0.57)=0.7157，Φ(0.67)=0.7486，Φ(0.77)=0.7794. )

答案： (Ⅰ)由于N₁～B(n，1-θ)，N₂～B(n，θ-θ²