问答题

设f(x)连续，φ(x)=∫ ₀ ¹ f(xt)dt，且
．求φ"(x)，并讨论φ"(x)在x=0处的连续性．

答案：正确答案：

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设x=x(t)由

答案：正确答案：

设x ³ 一3xy+y ³ =3确定y为x的函数，求函数y=y(x)的极值点．

答案：正确答案：x ³ 一3xy+y ³ =3两边对x求导得

x=φ(y)是y=f(x)的反函数，f(x)可导，且f"(x)=
，f(0)=3，求φ"(3)．

答案：正确答案：

设f(x)连续，φ(x)=∫ ₀ ¹ f(xt)dt，且
．求φ"(x)，并讨论φ"(x)在x=0处的连续性．

答案：正确答案：

设
，求y"．

答案：正确答案：

设函数f(x)在x=1的某邻域内有定义，且满足｜f(x)-2e ^x ｜≤(x一1) ² ，研究函数f(x)在x=1处的可导性．

答案：正确答案：把x=1代入不等式中，得f(1)=2e．当x≠1时，不等式两边同除以｜x一1｜，得

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，f(
)=1，f(1)=0．证明： (1)存在η∈(
，1)，使得f(η)=η； (2)对任意的k∈(一∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f"(ξ)一k[f(ξ)一ξ]=1．

答案：正确答案：(1)令φ(x)=f(x)一x，φ(x)在[0，1]上连续，
，φ(1)=一1＜0，由零点定理，存在...

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且
证明：存在ξ∈(0，2)，使得f"(ξ)+f"(ξ)=0．

答案：正确答案：

而φ(x)=e ^x [f"(x)+f"(x)]且e ^x ≠0，所以f"(ξ)+f"(ξ)=0．

设f(x)在[0，1]上可导，f(0)=0，｜f"(x)｜≤
｜f(x)｜．证明：f(x)≡0，x∈[0，1]．

答案：正确答案：因为f(x)在[0，1]上可导，所以f(x)在[0，1]上连续，从而｜f(x)｜在[0，1]上连续，故｜f(x...

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e ^2ξ-η =(e ^a +e ^b )[f"(η)+f(η)]．

答案：正确答案：令φ(x)=e^xf(x)，由微分中值定理，存在η∈(a，b)，使得
即2e

一质点从时间t=0开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零．证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于4．

答案：正确答案：设运动规律为S=S(t)，显然S(0)=0，S"(0)=0，S(1)=1，S"(1)=0．由泰勒公式

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f"(x)｜≤1(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，证明：｜f"(x)｜≤
(x∈[0，1])．

答案：正确答案：由泰勒公式得

设f(x)在(一1，1)内二阶连续可导，且f"(x)≠0．证明： (1)对(一1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf"[θ(x)x]； (2)
．

答案：正确答案：(1)对任意x∈(一1，1)，根据微分中值定理，得 f(x)=f(0)+xf"[θ(x)x]，其中0＜θ(x)...

设f(x)在[a，b]是二阶可导，且f"(a)=f"(b)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得｜f(ξ)≥
｜f(a)一f(b)｜．

答案：正确答案：由泰勒公式得

f(x)在[-1，1]上三阶连续可导，且f(-1)=0，f(1)=1，f"(0)=0．证明：存在ξ∈(一1，1)，使得f"(ξ)=3．

答案：正确答案：由泰勒公式得
两式相减得f""(ξ₁)+f""(ξ₂)=...

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶连续可导．证明：存在ξ∈(a，b)，使得

答案：正确答案：因为f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f"(x)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c为(0，1)内任意一点． (1)写出f(x)在x=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式； (2)证明：｜f"(c)｜≤2a+
．

答案：正确答案：

设f(x)=
且f"(0)存在，求a，b，c．

答案：正确答案：

设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且
．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)≥8．

答案：正确答案：因为f(x)在[0，1]上二阶可导，所以f(x)在[0，1]上连续且f(0)=f(1)=0，
=一1...