若通过点(1，0)的曲线y=y(x)上每一点(x，y)处切线的斜率等于
，则此曲线的方程是______．

答案：y=xtan(lnx)[解析] 由题设知曲线y=y(x)中的函数y(x)是如下微分方程初值问题的特解：

你可能感兴趣的试题

填空题
由曲线θ=rarctanr及二射线θ=0及
所围的扇形面积A=______．
答案：
[解析] 由θ=rarctanr确定r=r(θ)，则

由θ=rarctanr得
填空题
在曲线．y=x ² (0≤x≤1)上取一点(t,t ² )，(0＜t＜1)，设A ₁ 是曲线y=x ² (0≤x≤1)，直线y=t ² 和x=0围成的面积；A ₂ 是由曲线y=x ² (0≤x≤1)直线y=t ² 和x=1围成的面积，则t取______时A=A ₁ +A ₂ 取最小值．
答案：
[解析]

因此，
时，A=A ₁ +A ₂ 取最小值．
填空题
在水平放置的椭圆底柱形容器内储存某种液体，容器的尺寸如图所示，其中椭圆方程为等
(单位：m)，则当液面过点(0，y)(-1≤y≤1)处水平线时，容器内液体的体积是______，当容器内储满了液体后，以0.16m ³ /min的速度将液体从容器顶端抽出，则当液面降至y=0时，液面下降的速度为______，如果液体的密度为1000(kg/m ³ )抽出全部液体所作的功为______．

答案：
[解析] 液体的体积

设液面下降的速度

则

所以

抽出全部液体所作的功
填空题

=______．
答案：1-ln2 [解析]

下求

解法1

解法2

因此，I=1-ln2．
填空题

=______．
答案：
[解析]
填空题
设有曲线
，过原点作其切线，则以曲线，切线及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一圈所得到的表面积为______．
答案：
[解析] 设切点为
，则过原点的切线方程为

把点
代入切线方程得x...
填空题
已知抛物叶形线的一部分：
，如图所示，它围成的图形为M，则M的面积A=______，M的质心(形心)
=______．

答案：
[解析] (1)由对称性，上半平面部分
与x轴围成的面积的两倍即是M的面积．于是

(2)由对称性，
填空题
设f(x)可导且f(0)=0，f(1)=1,
，则
=______．
答案：-2 [解析]
填空题
设n为自然数，则
=______．
答案：n![解析] 用分部积分法得递推公式

由递推公式导出结果
I_n
填空题

=______．
答案：ln2 [解析]

而

因此

作恒等变形后，对无穷积分作分部积分．
填空题
设f(x，y)=yx ^xy ，则
=______．
答案：y ² x ^xy (lnx+1) [解析]

=yx ^xy [ylnx+y]=y2x ^xy (lnx+1)．
填空题
设函数f具有二阶连续偏导数，且
，则
=______．
答案：
[解析] 用一阶全微分形式不变性可得

于是

故
填空题
设f(u，v)是连续函数，
，则dz=______．
答案：
[解析] 这是一元函数
与二元函数t=xy ³ 的复合函数，由一阶全微分形式的不变性可得

先求偏导数

于是
填空题
设z=f(x，y)满足
，且f(x，0)=x，f(0，y)=y ² ，则f(x，y)=______．
答案：
[解析] 连续两次分别对x和y求积分，即可得到f(x，y)的表达式．
由
有
...
填空题
若方程组
确定隐函数y(x)与z(x)，且y(1)=1，z(1)=
答案：
[解析] 将两个方程分别对x求导数，得

将x=1，y(1)=1，z(1)=0代人即得

由此即可解出
．故
填空题
设f(x，y)=ln|x+y|-sin(xy)，则
在点(1，π)处的值为______．
答案：
[解析] 按一、二阶偏导数的定义直接计算可得

从而
填空题
设f和g为连续可微函数，u=f(x，xy)，v=g(x+xy)，则
=______．
答案：(1+y)(f" ₁ +yf" ₂ )g" [解析] 这是求带抽象函数记号的复合函数的一阶偏导数．由复合函数求导法得

因此
填空题
已知函数z=f(x，y)在点(1，2)处可微，且f(1，2)=1，f" _x (1，2)=2，f" _y (1，2)=3，设函数φ(x)=f(x，2f(x，2x))，则φ"(1)=______．
答案：50[解析] 引入函数ψ(x)=f(x，2x)，则φ(x)=f(x，2ψ(x))，从而
φ"(x)=f"
填空题
设(ax ² y ² -2xy ² )dx+(2x ³ y+bx ² y+1)dy是一个函数f(x，y)的全微分，则a=______，b=______．
答案：3；-2[解析] 若df(x，y)=(ax²y²-2xy²
填空题
设
，则
=______．
答案：
[解析] 因
在点(2，1，2)处附近具有连续偏导数，从而f(x，y，z)在点(2，1，2)处可微...
填空题
由方程
所确定的函数z=z(x，y)，)在点(1，0，-1)处的全微分dz=______．
答案：
[解析] 这是求隐函数在某点的全微分，这里点(1，0，-1)的含意是z=z(1，0)=-1．将方程两边求全微...
填空题
设z=z(z，y)由方程．y+z=xf(y ² -z ² )确定，且f可微，则
等于______．
答案：y [解析] 令F(x，y，z)=y+z-xf(y ² -z ² )，于是
填空题
设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足
，又g(x，y)=f(x ² +y ² ，xy)，则
=______．
答案：x²-y²[解析] 利用一阶全微分形式不变性可得复合函数g(x，y)的一阶全...
填空题
设t＞0时，f(t)有二阶连续导数，z=f(xy)满足
，则f(t)=______(t＞0)．
答案：
C₁，C₂为
常数[解析] 令t=xy，
z...
填空题
函数f(x，y)=2x ² -xy+2y ² +x-y在区域D={(x，y)||x|≤1，|y|≤1}上最小值点与最小值分别是______与______；最大值点与最大值分别是______与______．
答案：
[解析] 首先求函数f(x，y)在D内的驻点与驻点处的函数值．令

可解得唯一驻点
填空题
累次积分
的值等于______．
答案：
[解析] 直接计算可得

先表成

其中
如下图，然后改成先x后y的积分顺序，虽要分块积分，但每个积分易求．
填空题
将直角坐标中的累次积分转换成极坐标系下的累次积分并计算．
______．
答案：
[解析] I是二重积分
的累次积分，其中
，D如下图，应作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，可得

于是
．
填空题
交换积分次序
=______．
答案：
[解析] 由题设知对应的二重积分
的积分区域D=D₁∪D₂
填空题
设f(x，y)为连续函数，且
，则f(x，y)=______．
答案：
[解析] 因f(x，y)连续，从而f(x，y)在区域x ² +y ² ≤1上可积，设

则
，两边在D上积分得

故
填空题
设积分区域D是由直线y=0，y=x与曲线
围成的平面图形，则
=______．

答案：
[解析] 令x=rcosθ，y=rsinθ引入极坐标系，在极坐标系(r，θ)中积分区域

，从而
填空题
设积分区域D={(x，y)1≤x+y≤2，x≥0，y≥0}．则
=______．
答案：
[解析] 令x=rcosθ，y=rsinθ，在极坐标系(r，θ)中积分区域
，从而
填空题
设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且
，区域D={(x，y)|0≤x≤1，x≤y≤1)，则二重积分
=______．
答案：
[解析] 区域D如下图

．将I中的x与...
填空题
设积分区域D由曲线y=lnx以及直线x=2，y=0围成，则二重积分
=______．
答案：ln2 [解析] 由题设知积分区域D={(x，y)|1≤x≤2，0≤y≤lnx}，从而
填空题
设f(x，y)在单位圆x ² +y ² ≤1上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，f(0,0)=2016．则
=______．
答案：-2016[解析] 设x=rcosθ，y=rsinθ，则
即
．化题设二重积分为极坐标系下的二重积分...
填空题
已知y=y(x)在任意点x处的增量
，其中α是Δx的高阶无穷小(Δx→0时)，y(0)=π，则y(1)=______．
答案：
[解析] 因为
，令Δx→0有：
，所以
，两边积分有ln|y|=arctan...
填空题
微分方程(y+2x ² e ^x )dx-xdy=0满足条件y(1)=2e的特解是y=______．
答案：2xe^x[解析] 原方程可改写成一阶线性微分方程
．

，用积分因子...
填空题
把x ² 看成y的函数，求解微分方程(y ⁴ -3x ² )dy+xydx=0，则该方程的通解是______．
答案：x²=Cy⁶+y⁴，C为
常数．[解析] 将...
填空题
已知连续函数f(x)满足条件
，则f(x)=______．
答案：2e^2x-(x+2)e^x[解析] 实质上f(x)是可导的，将方程两端对x求导...
填空题
微分方程yy"+2(y") ² =0满足初始条件y(0)=1，y"(0)=-1的特解是______．
答案：
[解析] 这是可降阶的二阶的方程(方程不显含x)．
令y"=p(y)，则
，代入方程得<...
填空题
设y=y(x)是微分方程(3x ² +2)y"=6xy"的一个特解，且当x→0时y(x)是与e ^x -1等价的无穷小量，则该特解是______．
答案：
[解析] 这是可降阶的二阶方程(方程不显含y)，令p=y"，方程可变形为
，积分得ln|p|=ln...
填空题
当y＞0时，微分方程(x-2xy-y ² )dy+y ² dx=0的通解为______．
答案：
，C为任意常数[解析] 当y＞0时方程可改写为
，这是以y为自变量，x为未知函数一阶线性微分方程．...
填空题
若通过点(1，0)的曲线y=y(x)上每一点(x，y)处切线的斜率等于
，则此曲线的方程是______．
答案：y=xtan(lnx)[解析] 由题设知曲线y=y(x)中的函数y(x)是如下微分方程初值问题的特解：
填空题
y"+4y=cos2x的通解为y=______．
答案：
，C₁，C₂均为任意常数[解析] y"+4y=cos2x对应的齐...
填空题
已知y ₁ =xe ^x +e ^2x ，y ₂ =xe ^x +e ^-x y ₃ =xe ^x +e ^2x -e ^-x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为______．
答案：y"-y"-2y=(1-2x)e^x[解析] y₁=y₃...
填空题
设
有二阶连续的偏导数，且满足

则
=______．
答案：
，C₁，C₂均为任意常数[解析]
，则u=u(r)，...
填空题
已知连续函数f(x)满足
，则f(x)=______．
答案：
[解析]
可以转化为如下形式：

代入原方程得
①
填空题
三阶常系数齐次线性微分方程
满足初值y(0)=4，y"(0)=4与y"(0)=0的特解是y*(x)=______．
答案：3e^x+e^-x+2xe^-x[解析] 题设方程对应的特征...
填空题
设y=y(x)是二阶常系数线性微分方程y"+2my"+n
²
y=0满足y(0)=a与y"(0)=b的特解，其中m＞n＞0，则

=______．

答案：
填空题
设函数f(x)满足xf"(x)-3f(x)=-6x²，且由曲线y=f(x)与直线x=1及x轴所围成的平面图形D绕x轴旋转一周得旋转体的体积最小，则f(x)______．
答案：6x²-7x³

若通过点(1，0)的曲线y=y(x)上每一点(x，y)处切线的斜率等于 ，则此曲线的方程是______．

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由曲线θ=rarctanr及二射线θ=0及 所围的扇形面积A=______．

在曲线．y=x 2 (0≤x≤1)上取一点(t,t 2 )，(0＜t＜1)，设A 1 是曲线y=x 2 (0≤x≤1)，直线y=t 2 和x=0围成的面积；A 2 是由曲线y=x 2 (0≤x≤1)直线y=t 2 和x=1围成的面积，则t取______时A=A 1 +A 2 取最小值．

=______．

=______．

设有曲线 ，过原点作其切线，则以曲线，切线及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一圈所得到的表面积为______．

已知抛物叶形线的一部分： ，如图所示，它围成的图形为M，则M的面积A=______，M的质心(形心) =______．

设f(x)可导且f(0)=0，f(1)=1, ，则 =______．

设n为自然数，则 =______．

=______．

设f(x，y)=yx xy ，则 =______．

设函数f具有二阶连续偏导数，且 ，则 =______．

设f(u，v)是连续函数， ，则dz=______．

设z=f(x，y)满足 ，且f(x，0)=x，f(0，y)=y 2 ，则f(x，y)=______．

若方程组 确定隐函数y(x)与z(x)，且y(1)=1，z(1)=

设f(x，y)=ln|x+y|-sin(xy)，则 在点(1，π)处的值为______．

设f和g为连续可微函数，u=f(x，xy)，v=g(x+xy)，则 =______．

已知函数z=f(x，y)在点(1，2)处可微，且f(1，2)=1，f" x (1，2)=2，f" y (1，2)=3，设函数φ(x)=f(x，2f(x，2x))，则φ"(1)=______．

设(ax 2 y 2 -2xy 2 )dx+(2x 3 y+bx 2 y+1)dy是一个函数f(x，y)的全微分，则a=______，b=______．

设 ，则 =______．

由方程 所确定的函数z=z(x，y)，)在点(1，0，-1)处的全微分dz=______．

设z=z(z，y)由方程．y+z=xf(y 2 -z 2 )确定，且f可微，则 等于______．

设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 ，又g(x，y)=f(x 2 +y 2 ，xy)，则 =______．

设t＞0时，f(t)有二阶连续导数，z=f(xy)满足 ，则f(t)=______(t＞0)．

函数f(x，y)=2x 2 -xy+2y 2 +x-y在区域D={(x，y)||x|≤1，|y|≤1}上最小值点与最小值分别是______与______；最大值点与最大值分别是______与______．

累次积分 的值等于______．

将直角坐标中的累次积分转换成极坐标系下的累次积分并计算． ______．

交换积分次序 =______．

设f(x，y)为连续函数，且 ，则f(x，y)=______．

设积分区域D是由直线y=0，y=x与曲线 围成的平面图形，则 =______．

设积分区域D={(x，y)1≤x+y≤2，x≥0，y≥0}．则 =______．

设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且 ，区域D={(x，y)|0≤x≤1，x≤y≤1)，则二重积分 =______．

设积分区域D由曲线y=lnx以及直线x=2，y=0围成，则二重积分 =______．

设f(x，y)在单位圆x 2 +y 2 ≤1上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，f(0,0)=2016．则 =______．

已知y=y(x)在任意点x处的增量 ，其中α是Δx的高阶无穷小(Δx→0时)，y(0)=π，则y(1)=______．

微分方程(y+2x 2 e x )dx-xdy=0满足条件y(1)=2e的特解是y=______．

把x 2 看成y的函数，求解微分方程(y 4 -3x 2 )dy+xydx=0，则该方程的通解是______．

已知连续函数f(x)满足条件 ，则f(x)=______．

微分方程yy"+2(y") 2 =0满足初始条件y(0)=1，y"(0)=-1的特解是______．

设y=y(x)是微分方程(3x 2 +2)y"=6xy"的一个特解，且当x→0时y(x)是与e x -1等价的无穷小量，则该特解是______．

当y＞0时，微分方程(x-2xy-y 2 )dy+y 2 dx=0的通解为______．

若通过点(1，0)的曲线y=y(x)上每一点(x，y)处切线的斜率等于 ，则此曲线的方程是______．

y"+4y=cos2x的通解为y=______．

已知y 1 =xe x +e 2x ，y 2 =xe x +e -x y 3 =xe x +e 2x -e -x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为______．

设 有二阶连续的偏导数，且满足 则 =______．

已知连续函数f(x)满足 ，则f(x)=______．

三阶常系数齐次线性微分方程 满足初值y(0)=4，y"(0)=4与y"(0)=0的特解是y*(x)=______．

设y=y(x)是二阶常系数线性微分方程y"+2my"+n 2 y=0满足y(0)=a与y"(0)=b的特解，其中m＞n＞0，则 =______．

设函数f(x)满足xf"(x)-3f(x)=-6x2，且由曲线y=f(x)与直线x=1及x轴所围成的平面图形D绕x轴旋转一周得旋转体的体积最小，则f(x)______．

若通过点(1，0)的曲线y=y(x)上每一点(x，y)处切线的斜率等于
，则此曲线的方程是______．

由曲线θ=rarctanr及二射线θ=0及
所围的扇形面积A=______．

在曲线．y=x ² (0≤x≤1)上取一点(t,t ² )，(0＜t＜1)，设A ₁ 是曲线y=x ² (0≤x≤1)，直线y=t ² 和x=0围成的面积；A ₂ 是由曲线y=x ² (0≤x≤1)直线y=t ² 和x=1围成的面积，则t取______时A=A ₁ +A ₂ 取最小值．

设有曲线
，过原点作其切线，则以曲线，切线及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一圈所得到的表面积为______．

已知抛物叶形线的一部分：
，如图所示，它围成的图形为M，则M的面积A=，M的质心(形心)
=．

设f(x)可导且f(0)=0，f(1)=1,
，则
=______．

设n为自然数，则
=______．

设f(x，y)=yx ^xy ，则
=______．

设函数f具有二阶连续偏导数，且
，则
=______．

设f(u，v)是连续函数，
，则dz=______．

设z=f(x，y)满足
，且f(x，0)=x，f(0，y)=y ² ，则f(x，y)=______．

若方程组
确定隐函数y(x)与z(x)，且y(1)=1，z(1)=

设f(x，y)=ln|x+y|-sin(xy)，则
在点(1，π)处的值为______．

设f和g为连续可微函数，u=f(x，xy)，v=g(x+xy)，则
=______．

已知函数z=f(x，y)在点(1，2)处可微，且f(1，2)=1，f" _x (1，2)=2，f" _y (1，2)=3，设函数φ(x)=f(x，2f(x，2x))，则φ"(1)=______．

设(ax ² y ² -2xy ² )dx+(2x ³ y+bx ² y+1)dy是一个函数f(x，y)的全微分，则a=，b=．

设
，则
=______．

由方程
所确定的函数z=z(x，y)，)在点(1，0，-1)处的全微分dz=______．

设z=z(z，y)由方程．y+z=xf(y ² -z ² )确定，且f可微，则
等于______．

设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足
，又g(x，y)=f(x ² +y ² ，xy)，则
=______．

设t＞0时，f(t)有二阶连续导数，z=f(xy)满足
，则f(t)=______(t＞0)．

函数f(x，y)=2x ² -xy+2y ² +x-y在区域D={(x，y)||x|≤1，|y|≤1}上最小值点与最小值分别是与；最大值点与最大值分别是与．

累次积分
的值等于______．

将直角坐标中的累次积分转换成极坐标系下的累次积分并计算．
______．

交换积分次序
=______．

设f(x，y)为连续函数，且
，则f(x，y)=______．

设积分区域D是由直线y=0，y=x与曲线
围成的平面图形，则
=______．

设积分区域D={(x，y)1≤x+y≤2，x≥0，y≥0}．则
=______．

设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且
，区域D={(x，y)|0≤x≤1，x≤y≤1)，则二重积分
=______．

设积分区域D由曲线y=lnx以及直线x=2，y=0围成，则二重积分
=______．

设f(x，y)在单位圆x ² +y ² ≤1上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，f(0,0)=2016．则
=______．

已知y=y(x)在任意点x处的增量
，其中α是Δx的高阶无穷小(Δx→0时)，y(0)=π，则y(1)=______．

微分方程(y+2x ² e ^x )dx-xdy=0满足条件y(1)=2e的特解是y=______．

把x ² 看成y的函数，求解微分方程(y ⁴ -3x ² )dy+xydx=0，则该方程的通解是______．

已知连续函数f(x)满足条件
，则f(x)=______．

微分方程yy"+2(y") ² =0满足初始条件y(0)=1，y"(0)=-1的特解是______．

设y=y(x)是微分方程(3x ² +2)y"=6xy"的一个特解，且当x→0时y(x)是与e ^x -1等价的无穷小量，则该特解是______．

当y＞0时，微分方程(x-2xy-y ² )dy+y ² dx=0的通解为______．

若通过点(1，0)的曲线y=y(x)上每一点(x，y)处切线的斜率等于
，则此曲线的方程是______．

已知y ₁ =xe ^x +e ^2x ，y ₂ =xe ^x +e ^-x y ₃ =xe ^x +e ^2x -e ^-x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为______．

设
有二阶连续的偏导数，且满足

则
=______．

已知连续函数f(x)满足
，则f(x)=______．

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满足初值y(0)=4，y"(0)=4与y"(0)=0的特解是y*(x)=______．

设y=y(x)是二阶常系数线性微分方程y"+2my"+n
²
y=0满足y(0)=a与y"(0)=b的特解，其中m＞n＞0，则

=______．

设函数f(x)满足xf"(x)-3f(x)=-6x²，且由曲线y=f(x)与直线x=1及x轴所围成的平面图形D绕x轴旋转一周得旋转体的体积最小，则f(x)______．