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(单位：m)，则当液面过点(0，y)(-1≤y≤1)处水平线时，容器内液体的体积是______，当容器内储满了液体后，以0.16m
3
/min的速度将液体从容器顶端抽出，则当液面降至y=0时，液面下降的速度为______，如果液体的密度为1000(kg/m
3
)抽出全部液体所作的功为______．
[解析] 液体的体积
你可能感兴趣的试题
- 填空题
由曲线θ=rarctanr及二射线θ=0及
所围的扇形面积A=______．
答案：
[解析] 由θ=rarctanr确定r=r(θ)，则
由θ=rarctanr得 - 填空题
=______．
答案：1-ln2 [解析]
下求
解法1
解法2
因此，I=1-ln2． - 填空题
=______．
答案：
[解析]
- 填空题
设有曲线
，过原点作其切线，则以曲线，切线及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一圈所得到的表面积为______．
答案：
[解析] 设切点为
，则过原点的切线方程为
把点
代入切线方程得x... - 填空题
已知抛物叶形线的一部分：
，如图所示，它围成的图形为M，则M的面积A=______，M的质心(形心)
=______．
答案：
[解析] (1)由对称性，上半平面部分
与x轴围成的面积的两倍即是M的面积．于是
(2)由对称性，
- 填空题
设f(x)可导且f(0)=0，f(1)=1,
，则
=______．
答案：-2 [解析]
- 填空题
设n为自然数，则
=______．
答案：n![解析] 用分部积分法得递推公式
由递推公式导出结果
In - 填空题
=______．
答案：ln2 [解析]
而
因此
作恒等变形后，对无穷积分作分部积分．
- 填空题
设f(x，y)=yx xy ，则
=______．
答案：y 2 x xy (lnx+1) [解析]
=yx xy [ylnx+y]=y2x xy (lnx+1)． - 填空题
设函数f具有二阶连续偏导数，且
，则
=______．
答案：
[解析] 用一阶全微分形式不变性可得
于是
故
- 填空题
设f(u，v)是连续函数，
，则dz=______．
答案：
[解析] 这是一元函数
与二元函数t=xy
3
的复合函数，由一阶全微分形式的不变性可得
先求偏导数
于是
- 填空题
设z=f(x，y)满足
，且f(x，0)=x，f(0，y)=y
2
，则f(x，y)=______．
答案：
[解析] 连续两次分别对x和y求积分，即可得到f(x，y)的表达式．
由
有
... - 填空题
若方程组
确定隐函数y(x)与z(x)，且y(1)=1，z(1)=
答案：
[解析] 将两个方程分别对x求导数，得
将x=1，y(1)=1，z(1)=0代人即得
由此即可解出
．故
- 填空题
设f(x，y)=ln|x+y|-sin(xy)，则
在点(1，π)处的值为______．
答案：
[解析] 按一、二阶偏导数的定义直接计算可得
从而
- 填空题
设f和g为连续可微函数，u=f(x，xy)，v=g(x+xy)，则
=______．
答案：(1+y)(f" 1 +yf" 2 )g" [解析] 这是求带抽象函数记号的复合函数的一阶偏导数．由复合函数求导法得
因此
- 填空题
已知函数z=f(x，y)在点(1，2)处可微，且f(1，2)=1，f" x (1，2)=2，f" y (1，2)=3，设函数φ(x)=f(x，2f(x，2x))，则φ"(1)=______．
答案：50[解析] 引入函数ψ(x)=f(x，2x)，则φ(x)=f(x，2ψ(x))，从而
φ"(x)=f" - 填空题
设(ax 2 y 2 -2xy 2 )dx+(2x 3 y+bx 2 y+1)dy是一个函数f(x，y)的全微分，则a=______，b=______．
答案：3；-2[解析] 若df(x，y)=(ax2y2-2xy2 - 填空题
设
，则
=______．
答案：
[解析] 因
在点(2，1，2)处附近具有连续偏导数，从而f(x，y，z)在点(2，1，2)处可微... - 填空题
由方程
所确定的函数z=z(x，y)，)在点(1，0，-1)处的全微分dz=______．
答案：
[解析] 这是求隐函数在某点的全微分，这里点(1，0，-1)的含意是z=z(1，0)=-1．将方程两边求全微... - 填空题
设z=z(z，y)由方程．y+z=xf(y 2 -z 2 )确定，且f可微，则
等于______．
答案：y [解析] 令F(x，y，z)=y+z-xf(y 2 -z 2 )，于是
- 填空题
设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足
，又g(x，y)=f(x
2
+y
2
，xy)，则
=______．
答案：x2-y2[解析] 利用一阶全微分形式不变性可得复合函数g(x，y)的一阶全... - 填空题
设t＞0时，f(t)有二阶连续导数，z=f(xy)满足
，则f(t)=______(t＞0)．
答案：
C1，C2为
常数[解析] 令t=xy，
z... - 填空题
函数f(x，y)=2x 2 -xy+2y 2 +x-y在区域D={(x，y)||x|≤1，|y|≤1}上最小值点与最小值分别是______与______；最大值点与最大值分别是______与______．
答案：
[解析] 首先求函数f(x，y)在D内的驻点与驻点处的函数值．令
可解得唯一驻点 - 填空题
累次积分
的值等于______．
答案：
[解析] 直接计算可得
先表成
其中
如下图，然后改成先x后y的积分顺序，虽要分块积分，但每个积分易求．
- 填空题
将直角坐标中的累次积分转换成极坐标系下的累次积分并计算．
______．
答案：
[解析] I是二重积分
的累次积分，其中
，D如下图，应作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，可得
于是
． - 填空题
交换积分次序
=______．
答案：
[解析] 由题设知对应的二重积分
的积分区域D=D1∪D2 - 填空题
设f(x，y)为连续函数，且
，则f(x，y)=______．
答案：
[解析] 因f(x，y)连续，从而f(x，y)在区域x
2
+y
2
≤1上可积，设
则
，两边在D上积分得
故
- 填空题
设积分区域D是由直线y=0，y=x与曲线
围成的平面图形，则
=______．
答案：
[解析] 令x=rcosθ，y=rsinθ引入极坐标系，在极坐标系(r，θ)中积分区域
，从而
- 填空题
设积分区域D={(x，y)1≤x+y≤2，x≥0，y≥0}．则
=______．
答案：
[解析] 令x=rcosθ，y=rsinθ，在极坐标系(r，θ)中积分区域
，从而
- 填空题
设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且
，区域D={(x，y)|0≤x≤1，x≤y≤1)，则二重积分
=______．
答案：
[解析] 区域D如下图
．将I中的x与... - 填空题
设积分区域D由曲线y=lnx以及直线x=2，y=0围成，则二重积分
=______．
答案：ln2 [解析] 由题设知积分区域D={(x，y)|1≤x≤2，0≤y≤lnx}，从而
- 填空题
设f(x，y)在单位圆x 2 +y 2 ≤1上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，f(0,0)=2016．则
=______．
答案：-2016[解析] 设x=rcosθ，y=rsinθ，则
即
．化题设二重积分为极坐标系下的二重积分... - 填空题
已知y=y(x)在任意点x处的增量
，其中α是Δx的高阶无穷小(Δx→0时)，y(0)=π，则y(1)=______．
答案：
[解析] 因为
，令Δx→0有：
，所以
，两边积分有ln|y|=arctan... - 填空题
微分方程(y+2x 2 e x )dx-xdy=0满足条件y(1)=2e的特解是y=______．
答案：2xex[解析] 原方程可改写成一阶线性微分方程
．
，用积分因子... - 填空题
把x 2 看成y的函数，求解微分方程(y 4 -3x 2 )dy+xydx=0，则该方程的通解是______．
答案：x2=Cy6+y4，C为
常数．[解析] 将... - 填空题
已知连续函数f(x)满足条件
，则f(x)=______．
答案：2e2x-(x+2)ex[解析] 实质上f(x)是可导的，将方程两端对x求导... - 填空题
微分方程yy"+2(y") 2 =0满足初始条件y(0)=1，y"(0)=-1的特解是______．
答案：
[解析] 这是可降阶的二阶的方程(方程不显含x)．
令y"=p(y)，则
，代入方程得<... - 填空题
设y=y(x)是微分方程(3x 2 +2)y"=6xy"的一个特解，且当x→0时y(x)是与e x -1等价的无穷小量，则该特解是______．
答案：
[解析] 这是可降阶的二阶方程(方程不显含y)，令p=y"，方程可变形为
，积分得ln|p|=ln... - 填空题
当y＞0时，微分方程(x-2xy-y 2 )dy+y 2 dx=0的通解为______．
答案：
，C为任意常数[解析] 当y＞0时方程可改写为
，这是以y为自变量，x为未知函数一阶线性微分方程．... - 填空题
若通过点(1，0)的曲线y=y(x)上每一点(x，y)处切线的斜率等于
，则此曲线的方程是______．
答案：y=xtan(lnx)[解析] 由题设知曲线y=y(x)中的函数y(x)是如下微分方程初值问题的特解：
- 填空题
y"+4y=cos2x的通解为y=______．
答案：
，C1，C2均为任意常数[解析] y"+4y=cos2x对应的齐... - 填空题
已知y 1 =xe x +e 2x ，y 2 =xe x +e -x y 3 =xe x +e 2x -e -x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为______．
答案：y"-y"-2y=(1-2x)ex[解析] y1=y3... - 填空题
设
有二阶连续的偏导数，且满足
则
=______．
答案：
，C1，C2均为任意常数[解析]
，则u=u(r)，... - 填空题
已知连续函数f(x)满足
，则f(x)=______．
答案：
[解析]
可以转化为如下形式：
代入原方程得
① - 填空题
三阶常系数齐次线性微分方程
满足初值y(0)=4，y"(0)=4与y"(0)=0的特解是y*(x)=______．
答案：3ex+e-x+2xe-x[解析] 题设方程对应的特征...
[解析]
时，A=A
1
+A
2
取最小值．
