问答题

设A=
，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．

答案：正确答案：｜λE一A｜=
=(λ+a一1)(λ一a)(λ-a-1)=0，得矩阵A的特征值为λ₁

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(1)若A可逆且A～B，证明：A ^* ～B ^* ； (2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．

答案：正确答案：(1)因为A可逆且A～B所以B可逆，A，B的特征值相同且｜A｜=｜B｜．因为A～B，所以存在可逆矩阵P，使得...

设A，B为三阶矩阵，且AB=A-B，若λ ₁ ，λ ₂ ，λ ₃ 为A的三个不同的特征值，证明： (1)AB=BA； (2)存在可逆矩阵P，使得P ^-1 AP，P ^-1 BP同时为对角矩阵．

答案：正确答案：(1)由AB=A—B得A—B—AB+E=E，(E一B)(E+A)=E，即E—B与E+A互为逆矩阵，于是(E—...

设A=
有三个线性无关的特征向量，求a及A ^* ．

答案：正确答案：

设方程组
为矩阵A的分别属于特征值λ ₁ =1，λ ₂ =一2，λ ₃ =一1的特征向量． (1)求A； (2)求｜A ^* +3E｜．

答案：正确答案：因为方程组有无穷多个解，所以
(2)｜A｜=2，A^*对应的特征值为
...

设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX=0有非零解且λ ₁ =2是A的特征值，对应特征向量为(一1，0，1) ^T ． (1)求A的其他特征值与特征向量； (2)求A．

答案：正确答案：(1)因为A的每行元素之和为5，所以有

设A=
，求a，b及正交矩阵P，使得P ^T AP=B．

答案：正确答案：因为A～B，所以tr(A)=tr(B)，｜A｜=｜B｜，即

设A，B为n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n．证明：A，B有公共的特征向量．

答案：正确答案：因为r(A)+r(B)＜n，所以r(A) 有非零解，即A，B有公共的特征向量。

设A是n阶矩阵，α ₁ ，α ₂ ，…，α _n 是n维列向量，且α _n ≠0，若 Aα ₁ =α ₂ ，Aα ₂ =α ₃ ，…，Aα _n-1 =α _n ，Aα _n =0． (1)证明：α ₁ ，α ₂ ，…，α _n 线性无关； (2)求A的特征值与特征向量．

答案：正确答案：(1)令x₁α₁+x₂α₂

设A为三阶方阵，A的每行元素之和为5，AX=0的通解为
，求Aβ．

答案：正确答案：

A=
，求a，b及可逆矩阵P，使得P ^-1 AP=B．

答案：正确答案：由｜λE一B｜=0，得λ₁=一1，λ₂=1，λ₃

设A=
，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．

答案：正确答案：｜λE一A｜=
=(λ+a一1)(λ一a)(λ-a-1)=0，得矩阵A的特征值为λ₁

设A为m×n实矩阵，且r(A)=n．证明：A ^T A的特征值全大于零．

答案：正确答案：首先A^TA为实对称矩阵，r(A^TA)=n，对任意的X＞0，X

设A为n阶正定矩阵．证明：对任意的可逆矩阵P，P ^T AP为正定矩阵．

答案：正确答案：首先A^T=A，因为(P^TAP)^T=P

设P为可逆矩阵，A=P ^T P．证明：A是正定矩阵．

答案：正确答案：显然A^T=A，对任意的X≠0，X^TAX=(PX)^T

设A，B为n阶正定矩阵．证明：A+B为正定矩阵．

答案：正确答案：因为A，B正定，所以A^T=A，B^T=B，从而(A+B)^T...

三元二次型f=X ^T AX经过正交变换化为标准形f=y ₁ ² +y ₂ ² 一2y ₃ ² ，且A ^* +2E的非零特征值对应的特征向量为α ₁ =
，求此二次型．

答案：正确答案：因为f=X^TAX经过正交变换后的标准形为f=y₁²

设二次型f=2x ₁ ² +2x ₂ ² +ax ₃ ² +2x ₁ x ₁ +2bx ₁ x ₃ +2x ₂ x ₃ 经过正交变换X=QY，化为标准形f=y ₁ ² +y ₂ ² +4y ₃ ² ，求参数a，b及正交矩阵Q．

答案：正确答案：二次型f=2x₁²+2x₂²

设齐次线性方程组
为正定矩阵，求a，并求当｜X｜=
时X ^T AX的最大值．

答案：正确答案：因为方程组有非零解，所以
=a(a+1)(a一3)=0，即a=一1或a=0或a=3．因为A是正定矩阵...

设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零．证明：A为正定矩阵．

答案：正确答案：A所对应的二次型为f=X^TAX．因为A是实对称矩阵，所以存在正交变换X=QY，使得 f...

设A为m阶正定矩阵，B为m×n实矩阵．证明：B ^T AB正定的充分必要条件是r(B)=n．

答案：正确答案：因为(B^TAB)^T=B^TA^T