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问答题
设
设
有三个线性无关的特征向量，且λ=2为A的二重特征值，求可逆矩阵P，使得P
-1
AP为对角矩阵．
答案：
[解] 因为A有三个线性无关的特征向量，所以λ=2的线性无关的特征向量有两个，故r(2E-A)=1，
而
而
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相似于对角阵．
问答题
设
设
有三个线性无关的特征向量，且λ=2为A的二重特征值，求可逆矩阵P，使得P
-1
AP为对角矩阵．
答案：
[解] 因为A有三个线性无关的特征向量，所以λ=2的线性无关的特征向量有两个，故r(2E-A)=1，
而
而
相似于对角阵．
有四个线性无关的特征向量，求A的特征值与特征向量，并求A
2010
，
，方程组AX=β有解但不唯一．求a；
若A有一个特征值为3，求a；
，方程组AX=β有解但不唯一．求可逆矩阵P，使得P
-1
AP为对角阵；
求可逆矩阵P，使得P
T
A
2
P为对角矩阵．
为A
*
对应的特征向量．求a，b及α对应的A
*
的特征值；
，方程组AX=β有解但不唯一．求正交阵Q，使得Q
T
AQ为对角阵．
问答题
设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A
*
)
2
-4E的特征值为0，5，32.
设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A
*
)
2
-4E的特征值为0，5，32.
求A
-1
的特征值并判断A
-1
是否可对角化．
答案：
[解] 设A的三个特征值为λ1，λ2，λ3，因为B=(...
为A
*
对应的特征向量．判断A可否对角化．
，因为r(2E-A)=2，所以λ
2
=λ
3
=2只有一个线性无关的特征向量，故A不可以对角化．
的一个特征值为λ
1
=2，其对应的特征向量为
求常数a，b，c；
，解得
，则
问答题
设A为三阶矩阵，ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
是三维线性无关的列向量，且
设A为三阶矩阵，ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
是三维线性无关的列向量，且
Aξ
1
=-ξ
1
+2ξ
2
+2ξ
3
，Aξ
2
=2ξ
1
-ξ
2
-2ξ
3
，Aξ
3
=2ξ
1
-2ξ
2
-ξ
3
.求|A
*
+2E|．
答案：
[解] 因为|A|=-5，所以A*的特征值为1，-5，-5，故A*+2E的特...
问答题
设
设
的一个特征值为λ
1
=2，其对应的特征向量为
判断A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P，使得P
-1
AP为对角矩阵．若不可对角化，说明理由．
答案：
[解] 由
由(2E-A)X=0，得
，由(-E-A)X=0，得
显然A可对角化，令
由(2E-A)X=0，得
，由(-E-A)X=0，得
显然A可对角化，令
