问答题

设0≤a _n ＜
(一1) ⁿ a _n ² 中，哪个级数一定收敛

答案：正确答案：

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设S：x ² +y ² +z ² =a ² ，计算
(x ² +4y ² +9z ² )dS．

答案：正确答案：

计算曲面积分
(｜x｜≤1)绕z轴旋转一周所得到的曲面，取外侧．

答案：正确答案：曲面∑：z=1一x ² 一y ² (z≥0)，补充曲面∑ ₀ ：z=0(x ² +y ² ≤1)，取下侧，由高斯公式得

计算曲线积分∮ _L xyzdz，其中C：
，从z轴正向看，C为逆时针方向．

答案：正确答案：

计算∮ _L yzdx+3xzdy一xydz，其中L：
，从z轴正向着，L是逆时针方向．

答案：正确答案：设由L所围成的平面为∑，接右手准则，∑取上侧，

计算I=
，其中L是绕原点旋转一周的正向光滑闭曲线．

答案：正确答案：令P(x，y)=

令L _r ：x ² +y ² =r ² ，其中r＞0，L _r 在L内，方向取逆时针，由格林公式得

设空间曲线C由立体0≤z≤1，0≤y≤1，0≤2≤1的表面与平面x+y+z=
所截而成，计算｜∮ _C (z ² —y ² )dx+(x ² 一z ² )dy+(y ² —x ² )dz｜．

答案：正确答案：取平面x+y+z=
上被折线C所围的上侧部分为S，其法向量的方向余弦为cosα=cosβ=cosγ=...

设函数f(x，y)在D：x ² +y ² ≤1有连续的偏导数，且在L：x ² +y ² =1上有f(x，y)≡0．证明：f(0，0)=
，其中D _r ：r ² ≤x ² +y ² ≤1．

答案：正确答案：
=∫₀^2π[f(cosθ，sinθ)一f(rcosθ，...

设L是不经过点(2，0)，(—2，0)的分段光滑简单正向闭曲线，就L的不同情形计算．

答案：正确答案：I=
=I₁+I₂显然曲线积分I₁...

设函数u(x，y)，v(x，y)在D：x ² +y ² ≤1上一阶连续可偏导，又f(x，y)=v(x，y)i+u(x，y)j，g(x，y)=
，且在区域D的边界上有u(x，y)=1，v(x，y)=y，求
．

答案：正确答案：

=∫ ₀ ^2π (一sin ² θ+sinθcosθ)dθ=一π(其中L为单位圆周的正向)．

设曲线L的长度为l，且
=M．证明：｜∫ _L Pdx+Qdy｜≤Ml．

答案：正确答案：Pdx+Qdy={P，Q)．{dx，dy}，因为｜a．b｜≤｜a｜｜b｜，

讨论级数
的敛散性

答案：正确答案：

设
一定收敛．

答案：正确答案：
取ξ₀=1，存在自然数N，当N＞N时，｜a_n一0｜＜1...

设0≤a _n ＜
(一1) ⁿ a _n ² 中，哪个级数一定收敛

答案：正确答案：

若正项级数
收敛．

答案：正确答案：

答案：正确答案：

设{na _n }收敛，且
收敛．

答案：正确答案：令S=a₁，a₂，…，a_n，S"=(a

设a _n =一∫ ₀ ¹ x ² (1—x) ⁿ dx，讨论级数
a _n 的敛散性，若收敛求其和．

答案：正确答案：

设a _n ＞0(n=1，2，…)且{a _n } _n=1 ^∞ 单调减少，又级数
的敛散性。

答案：正确答案：

证明：(1)设a _n ＞0，R{na _n }有界，则级数
收敛； (2)若
收敛．

答案：正确答案：(1)因为{na _n }有界，所以存在M＞0，使得0＜na _n ≤M，

答案：正确答案：

设{u _n }，{c _n }为正项数列，证明： (1)若对一切正整数n满足c _n u _n 一c _n+1 u _n ≤0，且
也发散； (2)若对一切正整数n满足
也收敛．

答案：正确答案：显然
为正项级数． (1)因为对所有n满足c_nu_n一c<...

对常数p，讨论幂级数
的收敛域．

答案：正确答案：