问答题

证明：

答案：正确答案：

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证明：

答案：正确答案：

设f(x)=

答案：正确答案：

设f(x)=

答案：正确答案：

设f"(x)=arcsin(x-1) ² 且f(0)=0，求I=

答案：正确答案：由f(0)=0得f(x)=

，则

设f(u)是连续函数，证明：

答案：正确答案：

设f(x)在区间[0，1]上可积，当0≤x＜y≤1时，｜f(x)-f(y)｜≤｜arctanx-arctany｜，又f(1)=0，证明：

答案：正确答案：由｜f(x)｜=｜f(x)-f(1)｜=｜arctanx-arctan1｜=｜arctanx-

｜得

证明：
，其中a＞0为常数．

答案：正确答案：

证明：

答案：正确答案：

设f(x)，g(x)为[a，b]上连续的增函数(0＜a＜b)，证明：

答案：正确答案：令F(x，y)=[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)]，D={(x，y)｜ax≤6，a≤y≤b}，因为f...

设f(x)在[0，1]上可导，且｜f"(x)｜＜M，证明：

答案：正确答案：

设f(x)在(-∞，+∞)上是导数连续的有界函数，｜f(x)-f"(x)｜≤1，证明：｜f(x)｜≤1．

答案：正确答案：因为f(x)有界，所以

已知f(x)在[0，2]上二阶连续可微，f(1)=0，证明：

答案：正确答案：由泰勒公式得f(x)=f"(1)(x-1)+

(x-1) ² ，其中ξ位于1与x之间，积分得

设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f""(x)＜0，证明：

答案：正确答案：令
[f(x)+f(a)]，φ(a)=0，
因为f""(x)＜0，所以f"(x)单调递减，...

计算曲线y=
的弧长．

答案：正确答案：

设D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1)，直线l：x+y=t(t≥0)，S(t)为正方形区域D位于l左下方的面积，求

答案：正确答案：

求曲线y=2e ^-x (x≥0)与x轴所围成的图形的面积．

答案：正确答案：所围成的面积为

=2．

设f(x)是(-∞，+∞)上的连续非负函数，且f(x)
f(x-t)dt=sin ⁴ x，求f(x)在区间[0，π]上的平均值．

答案：正确答案：

设抛物线y=ax ² +bx+c(a＜0)满足：(1)过点(0，O)及(1，2)；(2)抛物线y=ax ² +bx+c与抛物线y=-x ² +2x所围图形的面积最小，求a，b，c的值．

答案：正确答案：由y=ax²+bx+c过点(0，0)及(1，2)得
则y=ax²

设L：y=sinx(0≤x≤
)．由x=0，L及y=sint围成面积S ₁ (t)；由y=sint，L及x=
围成面积S ₂ (t)，其中0＜t＜
t取何值时，S(t)=S ₁ (t)+S ₂ (t)取最小值

答案：正确答案：S₁(t)=tsint-
sinxdx=tsint+cost-1， S

设f(x)=
(1-｜t｜)dt(x＞-11)，求曲线y=f(x)与x轴所围成的平面区域的面积．

答案：正确答案：当-1＜x≤0时，f(x)=

当x＞0时，f(x)=

即f(x)=

由

故所求的面积为A=

求曲线y=xe ^-x (x≥0)绕x轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积．

答案：正确答案：

设曲线y=
在点(x ₀ ，y ₀ )处有公共的切线，求：常数a及切点坐标；

答案：正确答案：由

，切点坐标为(e ² ，1)．

设L：y=sinx(0≤x≤
)．由x=0，L及y=sint围成面积S ₁ (t)；由y=sint，L及x=
围成面积S ₂ (t)，其中0＜t＜
t取何值时，S(t)=S ₁ (t)+S ₂ (t)取最大值

答案：正确答案：当t=0时，S(t)最大，且最大面积为S(0)=1．

设函数f(x)在[0，2π]上连续可微，f"(x)≥0，证明：对任意正整数n，有

答案：正确答案：因为f"(x)≥0，所以f(0)≤f(2π)，从而f(2π)-f(0)≥0．

设曲线y=
在点(x ₀ ，y ₀ )处有公共的切线，求：两曲线与x轴所围成的平面图形绕X轴旋转所得旋转体的体积．

答案：正确答案：所求体积为V=V ₁ +V ₂ ，

设由y轴、y=x ² (x≥0)及y=a(0＜a＜1)所围成的平面图形及由y=a，y=x ² 及x=1所围成的平面图形都绕x轴旋转，所得旋转体的体积相等，求a．

答案：正确答案：