问答题

微分方程
的通解是___________．

答案：正确答案：y=Cxe ^-x

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求微分方程y"""+6y"+(9+a ² )y"=1的通解(一般解)，其中常数a＞0．

答案：正确答案：该方程对应的齐次方程的特征方程为 λ³+6λ²+(9+a^...

设函数y=f(x)满足微分方程y"一3y"+2y=2e ^x ，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x ² 一x+1在该点的切线重合，求函数y=y(x)．

答案：正确答案：本题所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为 λ²一3λ+2=(λ一1)(λ一2)=0 其...

设
，其中f为连续函数，求f(x)．

答案：正确答案：原方程可写为

求微分方程y"+4y"+4y=e ^-2x 的通解(一般解)．

答案：正确答案：因为a=一2是特征方程的二重根，故原方程特解可设为 y^*=Ax²e...

在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

答案：正确答案：曲线y=y(x)在P(x，y)处的法线方程为

求微分方程y"+2y"一3y=e ^-3x 的通解．

答案：正确答案：特征方程为λ ² +2λ一3=0，其根为λ ₁ =1，λ ₂ =一3，则对应的齐次方程的通解为

求微分方程x ² y"+xy=y ² 满足初始条件y｜ _x=1 =1的特解．

答案：正确答案：

设物体A从点(0，1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动，物体B从点(一1，0)与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A．试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件．

答案：正确答案：设在t时刻，B位于点(x，y)处(见图2．10)，则

设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f"(0)=1，且[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f"(x)+x ² y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．

答案：正确答案：由于[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f"(x)+x²y]dy=0是全微分方程，则<...

设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A．已知
，且L过点
，求L的方程．

答案：正确答案：设M点的坐标为(x，y)，则切线MA的方程为 Y—Y=y"(X—x) 令X=0，则Y=y—xy"，点A的坐标为...

微分方程y"一2y"+2y=e ^x 的通解为__________．

答案：正确答案：y=e ^x (C ₁ cosx+C ₂ sinx+1)

设对任意x＞0，曲线y=f(x)上点(x，f(x))处的切线在y轴上的截距等于
，求f(x)的一般表达式．

答案：正确答案：曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线方程为 Y一f(x)=f"(x)(X—x) 令X=0，得截距为 Y...

设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(e ^x siny)满足方程
，求f(u)．

答案：正确答案：令u=e ^x siny，则

在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的．设该人群总数为N，在t=0时刻已掌握新技术的人数为x ₀ ，在任一时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例系数k＞0，求x(t)．

答案：正确答案：由题设可知

从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k＞0)．试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=f(v)．

答案：正确答案：取沉放点为原点o，oy轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得

设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y"(x)＞0，y(0)=1，过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S ₁ ，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S ₂ ，并设2S ₁ 一S ₂ 恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．

答案：正确答案：曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为 Y—y=y"(x)(X—x)

设对于半空间x＞0内任意的光滑有向封闭曲面S，都有
其中函数f(x)在(0，+∞)内具有连续一阶导数，且
．求f(x)．

答案：正确答案：由题设和高斯公式可得
其中Ω是S围成的有界闭区域．由S的任意性知 xf"(x)+f(x)-xf(x)...

(1)验证函数
(一∞＜x＜+∞)满足微分方程 y"+y"+y=e ^x (2)利用(1)的结果求幂级数
的和函数．

答案：正确答案：(1)因为
所以y”+y’+y=e^x(2)与y"+y"+y=e^x

设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y"≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．(1)试将x=x(y)所满足的微分方程
变换为y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y"(0)=
的解．

答案：正确答案：由反函数导数公式知

上式两端对y求导得

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下．现有一质量为9 000 kg的飞机，着陆时的水平速度为700 km／h经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6．0×10 ⁶ )．问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少

答案：正确答案：由题设，飞机的质量m=9 000 kg，着陆时的水平速度v₀=700 km／h．从飞机接...

微分方程
的通解是___________．

答案：正确答案：y=Cxe ^-x

求微分方程y"一3y"+2y=2xe ^x 的通解．

答案：正确答案：对应齐次方程y"一3y"+2y=0的两个特征根为r₁=1，r₂=2...

微分方程xy"+y(1nx—lny)=0满足条件y(1)=e ³ 的解为y=___________．

答案：正确答案：xe ^2x+1

已知曲线
，其中函数f(t)具有连续导数，且f(0)=0，f"(t)＞0(0＜t＜
)．若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f(t)的表达式，并求以曲线L及x轴和y轴为边界的区域的面积．

答案：正确答案：曲线L的切线斜率

．切线方程为

令y=0，得切线与x轴交点的横坐标为

．

设函数f(x)在定义域I上的导数大于零．若对任意的x ₀ ∈I，曲线y=f(x)在点(x ₀ ，f(x ₀ ))处的切线与直线x=x ₀ 及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)=2，求f(x)的表达式．

答案：正确答案：曲线y=f(x)在点(x₀，f(x₀))处的切线方程为 y—f(x...