问答题

已知3阶矩阵A和3维向量χ，使得χ，Aχ，A ² χ线性无关，且满足 A ³ χ＝3Aχ－2A ² χ． (1)记P＝(χ，Aχ，A ² χ)．求3阶矩阵B，使A＝PBP ^-1 ； (2)计算行列式｜A＋E｜．

答案：正确答案：(1)令等式A＝PBP^-1两边同时右乘矩阵P，得AP＝PB，即 A(χ，Aχ，Aχ

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设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩降记为B． (1)证明B可逆； (2)求AB ^-1 ．

答案：正确答案：(1)设E(i，j)是由n阶单位矩阵的第i行和第j行对换后得到的初等矩阵，则有B＝E(i，j)A，因此有｜B...

设矩阵A的伴随矩阵A ^* ＝
，且ABA ^-1 ＝BA ^-1 ＋3E，其中E为4阶单位矩阵，求矩阵B．

答案：正确答案：由AA^*＝A^*A＝｜A｜E，知｜A^*｜＝｜A...

某试验性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将
熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐．新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有
成为熟练工．设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为χ _n 和y _n ，记成向量
． (1)求
的关系式并写成矩阵形式：
； (2)验证η ₁ ＝
，η ₂ ＝
是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； (3)当

答案：正确答案：
(2)因为行列式｜η₁，η₂｜＝
＝5≠0 ...

已知3阶矩阵A和3维向量χ，使得χ，Aχ，A ² χ线性无关，且满足 A ³ χ＝3Aχ－2A ² χ． (1)记P＝(χ，Aχ，A ² χ)．求3阶矩阵B，使A＝PBP ^-1 ； (2)计算行列式｜A＋E｜．

答案：正确答案：(1)令等式A＝PBP^-1两边同时右乘矩阵P，得AP＝PB，即 A(χ，Aχ，Aχ

设A，B为同阶方阵， (1)若A，B相似，证明A，B的特征多项式相等； (2)举一个2阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立； (3)当A，B均为实对称矩阵时，证明(1)的逆命题成立．

答案：正确答案：(1)若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P^-1AP＝B，则＝｜P^-1

(1)设A＝
，求φ(A)＝A ¹⁰ －5A ⁹ ； (2)设A＝
，求φ(A)＝A ¹⁰ －6A ⁹ ＋5A ⁸ ．

答案：正确答案：(1)A的特征多项式为｜A－λ｜＝
＝(λ－1)(λ－5) 解得A的特征值为λ₁

设A＝
，求一个4×2矩阵B，使AB＝O，且r(B)＝2．

答案：正确答案：r(B)＝2，因此可设B＝

，由AB＝O，即

解此非齐次线性方程组，得唯一解

故所求矩阵为B＝