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问答题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
AX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=O，其中
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
AX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=O，其中
求正交变换X=QY将二次型化为标准形；
答案：
解 由AB+B=O得(E+A)B=O，从而r(E+A)+r(B)≤3，
因为r(B)=2，所以r(E+A)≤1...
因为r(B)=2，所以r(E+A)≤1...
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问答题
设X 1 ，X 2 分别为A的属于不同特征值λ 1 ，λ 2 的特征向量．证明：X 1 +X 2 不是A的特征向量．
答案：
[证明] 反证法
不妨设X1+X2是A的属于特征值λ的特征向量，则...
不妨设X1+X2是A的属于特征值λ的特征向量，则...
，求A的全部特征值，并证明A可以对角化．
问答题
设向量α=(a 1 ，a 2 ，…，a n ) T ，其中a 1 ≠0，A=αα T ．求方程组AX=0的通解；
答案：
解 因为r(A)=1，所以AX=0的基础解系含有n-1个线性无关的特征向量，其基础解系为
，A=αα
T
，求|6E-A
n
|．
．
问答题
设向量α=(a 1 ，a 2 ，…，a n ) T ，其中a 1 ≠0，A=αα T ．求A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量．
答案：
解 因为A2=kA，其中
，所以A的非零特征值为k，因为Aα=ααT
，所以A的非零特征值为k，因为Aα=ααT
问答题
设A为三阶矩阵，A的特征值为λ
1
=1，λ
2
=2，λ
3
=3，其对应的线性无关的特征向量分别为
设A为三阶矩阵，A的特征值为λ
1
=1，λ
2
=2，λ
3
=3，其对应的线性无关的特征向量分别为
求A
n
β．
答案：
解 方法一
令
，则
方法二 令β=x 1 ξ 1 +x 2 ξ 2 +x 3 ξ 3 ，解得x 1 =2，x 2 =-2，x 3 =1，则
令
，则
方法二 令β=x 1 ξ 1 +x 2 ξ 2 +x 3 ξ 3 ，解得x 1 =2，x 2 =-2，x 3 =1，则
问答题
设A是n阶矩阵，λ是A的特征值，其对应的特征向量为X，证明：λ 2 是A 2 的特征值，X为特征向量．若A 2 有特征值λ，其对应的特征向量为X，X是否一定为A的特征向量说明理由．
答案：
解 由AX=λX得A2X=A(AX)=A(λX)=λAX=λ2X可知λ
．证明：A可逆并求A
-1
；
，
有一个特征值为3．求y；
问答题
设A是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2 -3A=O，设(1，1，-1) T 为A的非零特征值对应的特征向量．求A的特征值；
答案：
解 A
2
-3A=O
|A||3E-A|=0
λ=0，3，因为r(A)=1，所以λ
1
=3，λ
2
=λ
3
=0．
|A||3E-A|=0
λ=0，3，因为r(A)=1，所以λ
1
=3，λ
2
=λ
3
=0．
．证明：α为矩阵A的特征向量．
，所以α是矩阵A的特征向量，其对应的特征值为-1．
有一个特征值为3．求可逆矩阵P，使得(AP)
T
(AP)为对角矩阵．
问答题
设三阶实对称矩阵A的特征值为λ
1
=8，λ
2
=λ
3
=2，矩阵A的属于特征值λ
1
=8的特征向量为
设三阶实对称矩阵A的特征值为λ
1
=8，λ
2
=λ
3
=2，矩阵A的属于特征值λ
1
=8的特征向量为
，属于特征值λ
2
=λ
3
=2的特征向量为
，求属于λ
2
=λ
3
=2的另一个特征向量．
答案：
解 因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有
对应的特征向量为
...
对应的特征向量为
...
问答题
设n阶矩阵A满足(aE-A)(bE-A)=O且a≠b．证明：A可对角化．
答案：
[证明] 由(aE-A)(bE-A)=O，得|aE-A|·|bE-A|=0，则|aE-A|=0或者
|bE-A...
|bE-A...
证明A可对角化；
有三个线性无关的特征向量，求x，y满足的条件．
求A
m
．
，求A．
问答题
设
设
的逆矩阵A
-1
的特征向量．求x，y，并求A
-1
对应的特征值μ．
答案：
解 令Aα=μ
0
α，即
解得μ
0
=4，x=10，y=-9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知
．
解得μ
0
=4，x=10，y=-9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知
．
问答题
设
设
为A
*
的特征向量，求A
*
的特征值λ及a，b，c和A对应的特征值μ．
答案：
解 因为A
*
的特征向量也是A的特征向量，由
得
因为|A|=-1，所以a=2，于是a=2，b=-3，c=2，
．
得
因为|A|=-1，所以a=2，于是a=2，b=-3，c=2，
．
求a，b；
且A～B．求a；
，则f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
AX，
，显然P可逆，
问答题
用配方法化下列二次型为标准形：
用配方法化下列二次型为标准形：
f(x
1
，x
2
，x
3
)=2x
1
x
2
+2x
1
x
3
+6x
2
x
3
．
答案：
解 令
，或X=P
1
Y，其中
且P
1
可逆，
则
再令
或Y=P
2
Z，
其中
且P
2
可逆，
令
，P可逆，且
，或X=P
1
Y，其中
且P
1
可逆，
则
再令
或Y=P
2
Z，
其中
且P
2
可逆，
令
，P可逆，且
求可逆矩阵P，使得P
-1
AP=B．
且A～B．求可逆矩阵P，使P
-1
AP=B．
问答题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
AX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=O，其中
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
AX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=O，其中
求正交变换X=QY将二次型化为标准形；
答案：
解 由AB+B=O得(E+A)B=O，从而r(E+A)+r(B)≤3，
因为r(B)=2，所以r(E+A)≤1...
因为r(B)=2，所以r(E+A)≤1...
经过正交变换化为标准形
，求：常数a，b；
求矩阵A．
得
的秩为2．求a；
因为二次型的秩为2，所以r(A)=2，从而a=2．
经过正交变换化为标准形
，求：正交变换的矩阵Q．
的秩为2．用正交变换法化二次型为标准形．
问答题
设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A
2
=A(A称为幂等阵)．
设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A
2
=A(A称为幂等阵)．
求：二次型X
T
AX的标准形；
答案：
解 因为A2=A，所以|A||E-A|=0，即A的特征值为0或者1，
因为A为实对称矩阵...
因为A为实对称矩阵...
问答题
设A为n阶实对称可逆矩阵，
设A为n阶实对称可逆矩阵，
记X=(x
1
，x
2
，…，x
n
)
T
，把二次型f(x
1
，x
2
，…，x
n
)写成矩阵形式；
答案：
解
因为r(A)=n，所以|A|≠0，于是
，显然A
*
，A
-1
都是实对称矩阵．
因为r(A)=n，所以|A|≠0，于是
，显然A
*
，A
-1
都是实对称矩阵．
为正定矩阵，令
，求P
T
CP；
为正定矩阵，所以A
T
=A，D
T
=D，
问答题
设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A
2
=A(A称为幂等阵)．
设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A
2
=A(A称为幂等阵)．
求：|E+A+A
2
+…+A
n
|的值．
答案：
解 令B=E+A+A2+…+An，则B的特征值为λ=n+1(r重)，λ=1(...
二次型g(X)=X
T
AX是否与f(x
1
，x
2
，…，x
n
)合同
为正定矩阵，令
，证明：D-BA
-1
B
T
为正定矩阵．
合同，且C为正定矩阵，所以
为正定矩阵，故A与D-BA
-1
B
T
都是正定矩阵．
问答题
设二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +2x 3 2 +2tx 1 x 2 +2x 1 x 3 为正定二次型，求t的范围．
答案：
解 二次型的矩阵为
，因为该二次型为正定二次型，所以有
解得
．
，因为该二次型为正定二次型，所以有解得．
