问答题

设某产品的成本函数为C=aq ² +bq+c，需求函数为
其中C为成本，q为需求量(即产量)，p为单价，a，b，c，d，e都是正的常数，且d＞b．求： (1)利润最大时的产量及最大利润； (2)需求对价格的弹性； (3)需求对价格弹性的绝对值为1时的产量．

答案：正确答案：(1)利润函数为

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设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f"(x)在开区间(0，c)内存在且单调减小，f(0)=0，试应用拉格朗日中值定理证明不等式f(a+b)≤f(a)+f(b)其中a、b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．

答案：正确答案：f(a+b)≤f(a)+f(b)，就是要证明f(a+n)一f(a)一f(b)≤0．又f(0)=0，所以，只要...

试证明函数
在区间(0，+∞)内单调增加．

答案：正确答案：因为

令
只要证明g(x)＞0，x∈(0，+∞)以下有两种方法证明g(x)＞0...

设函数
问函数f(x)在x=1处是否连续若不连续，修改函数在x=1处的定义使之连续．

答案：正确答案：因为

而f(1)=1，故

所以f(x)在x=1处不连续．若令

则函数f(x)在x=1处连续．

求证：当x≥1时,

答案：正确答案：

因为f(x)在[1，+∞)上连续，所以f(x)在[1，+∞)上为常数，故f(x)=f(1)=0即

设某产品的成本函数为C=aq ² +bq+c，需求函数为
其中C为成本，q为需求量(即产量)，p为单价，a，b，c，d，e都是正的常数，且d＞b．求： (1)利润最大时的产量及最大利润； (2)需求对价格的弹性； (3)需求对价格弹性的绝对值为1时的产量．

答案：正确答案：(1)利润函数为

假设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，过点A(0，f(0))与B(1，f(1))的直线与曲线．y=f(x)相交于点C(c，f其中0＜c＜1．证明：在(0，1)内至少存在一点ξ，使f""(ξ)=0．

答案：正确答案：过A，B两点的直线方程为y=[f(1)一f(0)]x+f(0)令G(x)=f(x)一[f(1)一f(0)]x一...

假设f(x)在[a，+∞)上连续，f""(x)在(a，+∞)内存在且大于零，记F(x)=
证明：F(x)在(a，+∞)内单调增加．

答案：正确答案：

设某产品的需求函数为Q=Q(P)，收益函数为R=PQ，其中P为产品价格，Q为需求量，(产品的产量)，Q(P)是单调减函数．如果当价格为P ₀ ，对应产量为Q ₀ 时，边际收益
收益对价格的边际效应
需求对价格的弹性为E _P =b＞1，求P ₀ 和Q ₀ ．

答案：正确答案：由收益R=PQ对Q求导，有

设
其中g(x)有二阶连续导数，且g(0)=1，g"(0)=一1求f"(x)；

答案：正确答案：当x≠0时，有

当x=0时，由导数定义，有

设某种商品的单价为P时，售出的商品数量Q可以表示成
其中a、b、c均为正数，且a＞bc．求P在何范围变化时，使相应销售额增加或减少；

答案：正确答案：设售出商品的销售额为R，则

设
其中g(x)有二阶连续导数，且g(0)=1，g"(0)=一1讨论f"(x)在(一∞，+∞)上的连续性．

答案：正确答案：因为在x=0,处

在经济学中，称函数
为固定替代弹性生产函数，而称函数
为Cobb—Douglas生产函数，(简称C—D生产函数)．试证明：当X→0时，固定替代弹性生产函数变为C—D生产函数，即有
．

答案：正确答案：

设某种商品的单价为P时，售出的商品数量Q可以表示成
其中a、b、c均为正数，且a＞bc．要使销售额最大，商品单价p应取何值最大销售额是多少

答案：正确答案：由(1)可知，当

时，销售额R取得最大值，最大销售额为

一商家销售某种商品的价格满足关系P=7—0．2X(万元／吨)，x为销售量(单位：吨)，商品的成本函数是C=3x+1(万元)若每销售一吨商品，政府要征税t(万元)，求该商家获最大利润时的销售量；

答案：正确答案：设T为总税额，则T=tx;商品销售总收入为 R=px=(7—0．2x)x=7x一0．2x²

一商家销售某种商品的价格满足关系P=7—0．2X(万元／吨)，x为销售量(单位：吨)，商品的成本函数是C=3x+1(万元)t为何值时，政府税收总额最大．

答案：正确答案：将

代入T=tx，得

由

得唯一驻点t=2；由于

可见当t=2时T有极大值，这时也为最大值，此时政府税收总额最大．

设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(假定t=0)就售出，总收入为R ₀ (元)．如果窖藏起来，待来日按陈酒价格出售，t年末总收入为
．假定银行的年利率为r，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求r=0．06时的t值．

答案：正确答案：根据连续复利公式，这批酒在窖藏t年末售出总收入R的现值为A(t)=Re ^-(n) ，而

所以

设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f"(x)≠0．试证存在ξ，η∈(a，b)，使得

答案：正确答案：由拉格朗日中值定理知，存在η∈(a，b)．使 e ^b 一e ^a =e ^η (b一a)

设函数f(x)在区间[0．1]上连续，在(0，1)内可导，且
，试证(1)存在
,使f(η)=η．(2)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f"(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1

答案：正确答案：(1)令φ(x)=f(x)一x，则φ(x)在[0，1]上连续．又φ(1)=一1＜0,
，由介值定理可...