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问答题
设实对称矩阵A满足A 2 一3A+2E=O，证明：A为正定矩阵．
答案：
正确答案：设λ为A的任一特征值，则存在X≠0，使Ax=λK，于是(A2一3A+2E)X=(λ
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问答题
设二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +4x 1 x 2 +4x 1 x 3 +4x 2 x 3 ，写出f的矩阵A，求出A的特征值，并指出曲面f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1的名称．
答案：
正确答案：A=
，λ
1
=λ
2
=一1，λ
3
=5；双叶双曲面．
，λ
1
=λ
2
=一1，λ
3
=5；双叶双曲面．
问答题
设矩阵A=
设矩阵A=
相似于对角矩阵．
(1)求a的值；
(2)求一个正交变换，将二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax化为标准形，其中x=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
．
答案：
正确答案：(1)A的特征值为6，6，一2，故由A可相似对角化知矩阵6E—A=
的秩为1，→a=0． (2)f=...
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是否为正定矩阵
问答题
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答案：
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问答题
设λ
1
、λ
2
分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值，X
1
、X
2
分别为对应于λ
1
和λ
n
的特征向量，记
f(X)=
设λ
1
、λ
2
分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值，X
1
、X
2
分别为对应于λ
1
和λ
n
的特征向量，记
f(X)=
，X∈R
2
，X≠0
证明：λ
1
≤f(X)≤λ
n
，minf(X)=λ
1
=f(X
1
)，maxf(X)=λ
n
=f(X
n
)．
答案：
正确答案：只证最大值的情形(最小值情形的证明类似)：必存在正交变换X=PY(P为正交矩阵，Y=(y1
问答题
设n阶矩阵A正定，X=(x
1
，x
2
，…，x
n
)
T
，证明：二次型
f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=—
设n阶矩阵A正定，X=(x
1
，x
2
，…，x
n
)
T
，证明：二次型
f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=—
为正定二次型．
答案：
正确答案：
由于A正定，故｜A｜＞0，且A-1正定，故对于任意X≠0，X∈Rn...
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答案：
正确答案：(1)设A的特征值为λ1，λ2，…，λn．令...
．
(1)记x=(x
1
，x
2
，…，x
n
)
T
，把f(x
1
，x
2
，…，x
n
)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的矩阵为A
—1
；
(2)二次型g(X)=X
T
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T
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T
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答案：
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已知齐次线性方程组=
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是正定矩阵．(1)求a的值；(2)求当X
T
X=2时，X
T
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X=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
∈R
3
．
答案：
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设D=
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为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵．C为m×n矩阵．
(1)计算P
T
DP，其中P=
，(E
k
为k阶单位矩阵)；
(2)利用(1)的结果判断矩阵B—C
T
A
—1
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答案：
正确答案：(1)PTDP=
。(2)矩阵B-CTA-1<...
。(2)矩阵B-CTA-1<...
