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问答题设A、B分别为m、n阶正定矩阵，试判定分块矩阵C=
设A、B分别为m、n阶正定矩阵，试判定分块矩阵C=
是否为正定矩阵
答案：正确答案：取m+n维非零列向量Z=
，其中X、Y分别为m、n维向量，故X、Y不全为零，不妨假定X≠0，由条件有...
，其中X、Y分别为m、n维向量，故X、Y不全为零，不妨假定X≠0，由条件有...
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- 问答题
设二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +4x 1 x 2 +4x 1 x 3 +4x 2 x 3 ，写出f的矩阵A，求出A的特征值，并指出曲面f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1的名称．
答案：正确答案：A=
，λ
1
=λ
2
=一1，λ
3
=5；双叶双曲面． - 问答题
设矩阵A=
相似于对角矩阵．
(1)求a的值；
(2)求一个正交变换，将二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax化为标准形，其中x=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
．答案：正确答案：(1)A的特征值为6，6，一2，故由A可相似对角化知矩阵6E—A=
的秩为1，→a=0． (2)f=... - 问答题
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，X∈R
2
，X≠0
证明：λ
1
≤f(X)≤λ
n
，minf(X)=λ
1
=f(X
1
)，maxf(X)=λ
n
=f(X
n
)．答案：正确答案：只证最大值的情形(最小值情形的证明类似)：必存在正交变换X=PY(P为正交矩阵，Y=(y1 - 问答题
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设A、B为同阶正定矩阵，且AB=BA，证明：AB为正定矩阵．
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已知矩阵B=
相似于对角矩阵A。(1)求a的值；(2)利用正交变换将二次型X
T
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T
BX=1表示何种曲面．答案：正确答案：(1)由B相似于对角阵，知对应于B的二重特征值6的线性无关特征向量有2个，→r(6E—B)=1，→a=0。 (... - 问答题
已知齐次线性方程组=
有非零解，且矩阵A=
是正定矩阵．(1)求a的值；(2)求当X
T
X=2时，X
T
AX的最大值，其中
X=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
∈R
3
．答案：正确答案：(1)由方程组的系数行列式△=a(a+1)(a一3)=0，→a的取值范围为：0，一1，3，再由矩阵A正定，得a... - 问答题
设D=
为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵．C为m×n矩阵．
(1)计算P
T
DP，其中P=
，(E
k
为k阶单位矩阵)；
(2)利用(1)的结果判断矩阵B—C
T
A
—1
C是否为正定矩阵，并证明你的结论．答案：正确答案：(1)PTDP=
。(2)矩阵B-CTA-1<...
．
(1)记x=(x
1
，x
2
，…，x
n
)
T
，把f(x
1
，x
2
，…，x
n
)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的矩阵为A
—1
；
(2)二次型g(X)=X
T
AX与f(X)的规范形是否相同说明理由．