问答题

设A为n阶方阵，且满足AA ^T =E和|A|=-1，E表单位矩阵，证明：行列式|E+A|=0．

答案： [证明]|E+A|=|AA^T+A|=|AA^T+AE|
=|A(A<...

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答案： [证明]|E+A|=|AA^T+A|=|AA^T+AE|
=|A(A<...

证明与对角矩阵
可交换的矩阵只能是对角矩阵．

答案： [证明]设与

可交换的矩阵为

由AB=BA得(a _i -a _j )b _ij =0，当i≠j时，只有b _ij =0，从而B为对角矩阵．

如果A ^k =O(k为正整数)，求证：
(E-A) ^-1 =E+A+A ² +…+A ^k-1 ．

答案： [证明]证(E-A)(E+A+A ² +…+A ^k-1 )=E．

设A、B为n阶矩阵，且满足A ² =A，B ² =B及(A+B) ² =A+B，求证：AB=O．

答案： [证明]由已知得(A+B)²=A²+AB+BA+B²=...

设A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明：
(1)AB-BA为对称矩阵；
(2)AB+BA为反对称矩阵．

答案： [证明]已知A^T=A，B^T=-B，则
(1)(AB-BA)

设A是二阶非零矩阵，若A ^T =-A，证明：|A|＞0．

答案： [证明]设

由A=-A ^T 得到

因此a=d=0，b=-c，于是

奇数阶反对称行列式值为零．

答案：

所以D=0．

设A为n阶方阵，证明：A+A ^T 为对称矩阵，A-A ^T 为反对称矩阵；

答案： [证明]根据矩阵转置运算的规则，有
(A+A^T)^T=A^T...

设A为n阶方阵，证明：A可以表示为对称矩阵与反对称矩阵的和．

答案： [证明]因为

由题(1)的证明可知

为对称矩阵，

为反对称矩阵，A为它们的和．

设A为对称矩阵，证明：A ^-1 为对称矩阵；

答案： [证明]因为A为对称矩阵，所以A"=A
又(A ^-1 )"=(A") ^-1 =A ^-1 ，所以A ^-1 为对称矩阵．

设A，B都是n阶对称矩阵，证明：AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA．

答案： [证明]必要性：AB是对称矩阵，即(AB)^T=AB，又根据矩阵转置的运算规律，以及A，B都是对称矩...

若A可逆，且A～B，证明：A～B．

答案： [证明][提示]因为A～B，所以存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，于是P^-1

证明若下三角矩阵
可逆，则A ^-1 也是下三角矩阵．

答案：

因为A可逆，从而|A|≠0，故

设A为对称矩阵，证明：A为对称矩阵(A为A的伴随矩阵)．

答案： [证明]由(1)知A可逆，且A ^-1 是对称矩阵，又A*=|A|A ^-1 ，所以A*亦为对称矩阵．

设A，B，C，均为n阶矩阵，B和C都可逆，证明：秩r(A)=r(BA)=r(AC)．

答案： [证明]∵B，C都可逆．∴存在初等矩阵
P₁，…，P_s；Q

设A是n阶方阵，如果存在n阶非零矩阵B使AB=O(零矩阵)．证明：秩A＜n．

答案： [证明]由于B是非零矩阵，因此至少存在一个非零元素，设某一非零元素所在的列为
是齐次线性方程组Ax=0的非零解...

设A是一个秩为1的n阶方阵，证明：
(1)

(2)存在数k使A ² =kA．

答案： [证明]设A=(α₁，α₂，…，α_n)，其中α

设m×n矩阵A、B的秩相等，证明：存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得PAQ=B．

答案： [证明]不妨设A与B的秩均为r，则存在m阶可逆矩阵P₁，P₂和n阶可逆矩阵Q...

设A、B、C为n阶矩阵，|E-A|≠0，如果C=A+CA，B=E+AB，证明：B-C=E．

答案： [证明][提示]
由C=A+CA得C(E-A)=A，
所以C=A(E-A)^-1...