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问答题
在上半平面上求一条凹曲线，其上任一点M(χ，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段MQ长度的倒数，Q是法线与χ轴的交点，且曲线在点(1，1)处的切线与χ轴平行．
答案：
正确答案：设所求曲线为y＝y(χ)，则它在点M(χ，y)处的法线为 Y－y(χ)＝－
(X－χ)． (y′≠0...
(X－χ)． (y′≠0...
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问答题
设y(χ)在[0，＋∞)上连续，在(0，＋∞)内有连续导数且满足
χ∫
0
1
y(tχ)dt＝
设y(χ)在[0，＋∞)上连续，在(0，＋∞)内有连续导数且满足
χ∫
0
1
y(tχ)dt＝
，
求y(χ)．
答案：
正确答案：先作变量替换把χ∫01y(tχ)dt变成变限积分： χ∫...
问答题
在上半平面上求一条凹曲线，其上任一点M(χ，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段MQ长度的倒数，Q是法线与χ轴的交点，且曲线在点(1，1)处的切线与χ轴平行．
答案：
正确答案：设所求曲线为y＝y(χ)，则它在点M(χ，y)处的法线为 Y－y(χ)＝－
(X－χ)． (y′≠0...
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问答题
一容器在开始时盛有盐水100升，其中含净盐10公斤．现以每分钟3升的速度注入清水，同时以每分钟2升的速度将冲淡的溶液放出，容器装有搅拌器使溶液中的盐水保持均匀，求过程开始一小时溶液的含盐量．
答案：
正确答案：设t时刻容器中含盐量为y(t)(公斤)，用微元法列方程．依据是：t到t＋△t时间内 含盐量的变化量＝流入的含盐...
问答题
设f(χ，y)在点(1，1)处连续且满足
f(χ，y)＝e
χ＋y－2
＋o(ρ)(ρ＝
设f(χ，y)在点(1，1)处连续且满足
f(χ，y)＝e
χ＋y－2
＋o(ρ)(ρ＝
→0)．
求：(Ⅰ)df(χ，y)｜
(1，1)
；
(Ⅱ)J＝
答案：
正确答案：(Ⅰ)由条件知，
f(χ，y)＝f(1，1)＝eχ＋y－2｜(1，1...
f(χ，y)＝f(1，1)＝eχ＋y－2｜(1，1...
问答题
设f(χ，y)＝
设f(χ，y)＝
(Ⅰ)求
(Ⅱ)f(χ，y)在点(0，0)处是否可微为什么若可微则求df｜
(0,0)
．
答案：
正确答案：(Ⅰ)(χ，y)≠(0，0)时，
因为
在点(0，0)处连续
f(χ，y)在点(0，0)处可微．
因为在点(0，0)处连续f(χ，y)在点(0，0)处可微．
，χ)，其中f有连续的二阶偏导数，求
．
)＝0确定，其中F有连续偏导数，求
两边乘χy．得
因此
＝z(χ，y)
问答题
设方程e
z
＝y＋χz＋χ
2
＋y
2
确定隐函数z＝z(χ，y)，求dz及
设方程e
z
＝y＋χz＋χ
2
＋y
2
确定隐函数z＝z(χ，y)，求dz及
．
答案：
正确答案：由一阶全微分形式不变性，得 e
z
dz＝dy＋χdz＋zdχ＋2χdχ＋2ydy， 解出dz得
代入
表达式得
代入
表达式得
问答题
设y＝g(χ，z)，而z＝z(χ，y)是由方程f(χ－z，χy)＝0所确定，其中函数f，g均有连续偏导数，求
设y＝g(χ，z)，而z＝z(χ，y)是由方程f(χ－z，χy)＝0所确定，其中函数f，g均有连续偏导数，求
．
答案：
正确答案：这里有三个变量(χ，y，z)，两个方程式，确定两个因变量．按题意，χ为自变量，y，z为因变量． 由方程组
问答题
设f(χ，y)有二阶连续偏导数，满足
设f(χ，y)有二阶连续偏导数，满足
＝0，且在极坐标系下可表示成f(χ，y)＝g(r)，其中r＝
，求f(χ，y)．
答案：
正确答案：将方程
＝0转化为g(r)的常微分方程．因
方程
＝0转化为 g〞(r)－
＝0转化为g(r)的常微分方程．因
方程
＝0转化为 g〞(r)－
问答题
设u＝u(χ，t)有二阶连续偏导数，并满足
设u＝u(χ，t)有二阶连续偏导数，并满足
其中a＞0为常数． (Ⅰ)作自变量代换ξ＝χ－at，η＝χ＋at(
)，导出u对χ与y的一、二阶偏导数与u对ξ，η的一、二阶偏导数的关系式； (Ⅱ)导出u作为ξ，η的函数的二阶偏导数所满足的方程； (Ⅲ)求u(χ，t)．
答案：
正确答案：(Ⅰ)由复合函数求导法得
(Ⅱ)由(Ⅰ)中的①，②式得
(Ⅲ)把③式写成
＝0，...
(Ⅱ)由(Ⅰ)中的①，②式得
(Ⅲ)把③式写成
＝0，...
问答题
设u(χ，y)在区域D＝{(χ，y)｜χ＞0．－∞＜y＜＋∞}有连续偏导数，试证在区域D，u(χ，y)＝φ(
设u(χ，y)在区域D＝{(χ，y)｜χ＞0．－∞＜y＜＋∞}有连续偏导数，试证在区域D，u(χ，y)＝φ(
)的充要条件是：
＝0 ((χ，y)∈D)．
答案：
正确答案：(Ⅰ)必要性．若u(χ，y)＝φ(
) ((χ，y)∈D)
(Ⅱ)充分性．若
＝...
) ((χ，y)∈D)
(Ⅱ)充分性．若
＝...
问答题
设有旋转抛物面S：z＝
设有旋转抛物面S：z＝
(χ
2
，y
2
)与平面П：2χ＋2y＋z＋6＝0，P
0
(χ
0
，y
0
，z
0
)是S上与平面П距离最近的点．
(Ⅰ)求点P
0
及S与П的最短距离；
(Ⅱ)、求S存P
0
、点的法线．并证明它与平面П垂直．
答案：
正确答案：(Ⅰ)化为求解条件最值问题．设P(χ，y，z)为S上
点，P到П的距离 d＝
｜2χ＋2y...
点，P到П的距离 d＝
｜2χ＋2y...
问答题
在椭球面χ 2 ＋2y 2 ＋z 2 ＝1上求一点使函数f(χ，y，z)＝χ 2 ＋y 2 ＋z 2 在该点沿方向l＝(1．－1．0)的方向导数最大．
答案：
正确答案：(Ⅰ)l的方向余弦为
(cosα，cosβ，cosγ)＝
(1，－1，0) 则f(χ，y，...
(cosα，cosβ，cosγ)＝
(1，－1，0) 则f(χ，y，...
问答题
求函数z＝1－(
求函数z＝1－(
)在点P(
)处沿曲线C：
＝1在这点的切线方向和内法线方向的方向导数，其中a＞0，b＞0．
答案：
正确答案：先求曲线C的切向量与法向量，令φ(χ，y)＝
－1，则曲线C：φ(χ，y)＝0在点P处的法向量即±g...
－1，则曲线C：φ(χ，y)＝0在点P处的法向量即±g...
问答题
设F(u，v)有连续偏导数，且满足
设F(u，v)有连续偏导数，且满足
≠0，其中a，b，c≠0为常数，并有曲面S：F(cχ－az，cy－bz)＝0，求证： (Ⅰ)曲面S上
点处的法线总垂直于常向量； (Ⅱ)曲面S是以г：
＝0，为准线．母线平行于l＝(a．b．c)的柱面．
答案：
正确答案：(Ⅰ)令G(χ，y，z)＝F(cχ－az，cy－bz)，则曲面S的方程是G(χ，y，z)＝0，S上
...
...
问答题
设l
1
(cosα
1
，cosβ
1
)，l
2
＝(cosα
2
，cosβ
2
)是两个不共线(即不平行)的向量，若在P
0
(χ
0
，y
0
)处，
设l
1
(cosα
1
，cosβ
1
)，l
2
＝(cosα
2
，cosβ
2
)是两个不共线(即不平行)的向量，若在P
0
(χ
0
，y
0
)处，
＝0，求证：
＝0．
答案：
正确答案：由假设条件及方向导数计算公式得
这是
满足的二元一次方程组， 系数行列式
≠0 ...
这是
满足的二元一次方程组， 系数行列式
≠0 ...
问答题
设曲线г位于曲面z＝χ 2 ＋y 2 上，г在χy平面上投影的极坐标方程为r＝e *θ ． (Ⅰ)求г上柱坐标(r，θ，z)＝(1，0，1)的点M 0 的切线L的直角坐标方程； (Ⅱ)求￡在平面П：χ＋y＋z＝1的投影L′的方程．
答案：
正确答案：(Ⅰ)M0的直角坐标为 (rcosθ，rsinθ，z)｜(r，θ，z)＝(1，...
问答题
求I＝
求I＝
χ[1＋ysin(χ
2
＋y
2
)]dχdy，其中D是由y＝χ
3
，y＝1和χ＝－1所围区域．
答案：
正确答案：区域D如图24—1所示．
被积函数有奇偶性，积分区域D看起来没有对称性．添加辅助线y＝－χ...
被积函数有奇偶性，积分区域D看起来没有对称性．添加辅助线y＝－χ...
