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问答题
设函数f(t)在[0，+∞)上连续，且满足方程f(t)=e
4πt2
+
设函数f(t)在[0，+∞)上连续，且满足方程f(t)=e
4πt2
+
dxdy，试求f(t)．
答案：
正确答案：先用极坐标变换将二重积分转化为定积分
代入原方程得 f(t)=e4πt2
代入原方程得 f(t)=e4πt2
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问答题
求下列微分方程的通解：
(Ⅰ)(x－2)dy=[y+2(x－2)
3
]dx；
(Ⅱ)y
2
dx=(x+y
2
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3
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(Ⅱ)y
2
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2
)dy；
(Ⅲ)(3y－7x)dx+(7y－3x)dy=0；
(Ⅳ)
－3xy=xy
2
．
答案：
正确答案：(Ⅰ)原方程改写成
=2(x一2)2．(一阶线性方程)
积分得
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积分得
问答题
求下列微分方程的通解或特解：
(Ⅰ)
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(Ⅰ)
－4y=4x
2
，y(0)=
，y′(0)=2．
(Ⅱ)
+2y=e
－x
cosx．
答案：
正确答案：(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程λ2—4=0，特征根λ=±2．零不是特征根，方程有特解 y<...
问答题
求方程y″+2my′+n
2
y=0的通解；又设y=y(x)是满足y(0)=a，y′(0)=b的特解，求
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2
y=0的通解；又设y=y(x)是满足y(0)=a，y′(0)=b的特解，求
y(x)dx，其中m＞n＞0，a，b为常数．
答案：
正确答案：特征方程λ
2
+2mλ+n
2
=0，特征根λ=－m±
，通解为
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问答题
设y=y(x)在[0，+∞)内可导，且在
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x＞0处的增量△y=y(x+△x)－y(x)满足△y(1+△y)=
+α，其中当△x→0时α是△x的等价无穷小，又y(0)=2，求y(x)．
答案：
正确答案：由题设等式可得(1+△y)
+1． 从而y=y(x)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解：
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问答题
设函数f(x)连续，且
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f(t)dt=sin
2
x+
tf(x－t)dt．求f(x)．
答案：
正确答案：将
代入原方程即得
uf(u)du． 由f(x)连续可见以上方程中各项均可导．将方程两端对...
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问答题
设有微分方程y′－2y=φ(x)，其中φ(x)=
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试求：在(－∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(－∞，1)和(1，+∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0．
答案：
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问答题
已知y 1 * =xe x +e 2x ，y 2 * =xe x +e －x ，y 3 * =xe x +e 2x －e －x 是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．
答案：
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问答题
设p(x)在(a，b)连续，∫p(x)dx表示p(x)的某个原函数，C为任意常数，证明：y=Ce －∫p(x)dx 是方程y′+P(x)y=0的所有解．
答案：
正确答案：因为对任意常数C，y=Ce－∫p(x)dx是原方程的解，又设y是原方程的任意一个解，则 ...
问答题
设连接两点A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)为凸弧AB上的任意点(图6．4)．已知凸弧与弦AP之间的面积为x
3
，求此凸弧的方程．
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3
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答案：
正确答案：设凸弧的方程为y=f(x)，因梯形OAPC的面积为
[1+f(x)]，故 x3...
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问答题
在[0，+∞)上给定曲线y=y(x)＞0，y(0)=2，y(x)有连续导数．已知
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x＞0，[0，x]上一段绕x轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积，求曲线y=y(x)的方程．
答案：
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πy2dt．按题...
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问答题
设f(x)为连续正值函数，x∈[0，+∞)，若平面区域R
t
={(x，y)｜0≤x≤t，0≤y≤f(x)}(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y=f(x)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与
设f(x)为连续正值函数，x∈[0，+∞)，若平面区域R
t
={(x，y)｜0≤x≤t，0≤y≤f(x)}(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y=f(x)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与
之和，求f(x)．
答案：
正确答案：(Ⅰ)列方程．按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为
而相应的曲边梯形的面积为
f(x)dx...
而相应的曲边梯形的面积为
f(x)dx...
点(x，y)处的切线垂直于此点与原点的连线，求曲线y=y(x)的方程．
问答题
设有一弹性轻绳(即绳本身的重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为3克的物体，已知此绳受1克重量的外力作用时伸长
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厘米，如果物体在绳子拉直但并未伸长时放下，问此物体向下运动到什么地方又开始上升
答案：
正确答案：取物体刚放下时所处位置为坐标原点，建立坐标系，位移s，向下为正． s=时，v(速度)=0． (Ⅰ)受力分析． ...
问答题
5kg肥皂溶于300L水中后，以每分钟10L的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀之肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有1kg肥皂．
答案：
正确答案：设t时刻水中含的肥皂量为Q(t)kg，任取[t，t+dt]，这段时间内肥皂含量的减少量=抽出水的肥皂含量，即<...
问答题
设物体A从点(0，1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正方向运动，物体B从点(－1，0)与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A，任意时刻B点的坐标(x，y)，试建立物体B的运动轨迹(y作为x的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件．
答案：
正确答案：规定A出发的时刻t=0． 1°列方程．t时刻A位于(0，1+vt)．t时刻B位于点(x(t)，y(t))，B点...
