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问答题
设f(a)=f(b)=0，∫ a b f 2 (x)dx=1，f"(x)∈C[a，b]．求∫ a b xf(x)f"( x)dx;
答案：正确答案：∫
a
b
xf(x)f"(x)dx=
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求
答案：正确答案：
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求
答案：正确答案：因为[ln(tanx)"=
所以
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求
答案：正确答案：
- 问答题
求
答案：正确答案：令
=t，则
=t
2
arctan（1+t）一t+ln（t
2
+2t+2）+C
- 问答题
求∫x 2 arctancdx．
答案：正确答案：
- 问答题
设φ(x)=∫ a b ln(x 2 +t)dt，求φ"(x)，其中a＞0，b＞0．
答案：正确答案：φ(x)=∫ a b ln(x 2 +t)d(x 2 +t)=
φ(x)=2xln(x
2
+b)一2xln(x
2
+a)=
- 问答题
设f(x)连续，且F(x)=∫ 0 x (x一2t)f(t)dt．证明：若f(x)是偶函数，则F(x)为偶函数;
答案：正确答案：设f(一x)=f(x)，因为F(一x)=(一x一2t)f(t)dt
∫0 - 问答题
求∫ 0 nπ |cosx|dx．
答案：正确答案：∫ 0 nπ |cosx|dx=n∫ 0 π |cosx|dx=
=2n． - 问答题
答案：正确答案：
- 问答题
设f(x)连续，且F(x)=∫ 0 x (x一2t)f(t)dt．证明：若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．
答案：正确答案：F(x)=∫0x(x一2t)f(t)dt=x∫0 - 问答题
设f(x)=sin 3 x+∫ 一π π xf(x)dx，求∫ 0 x f(x)dx．
答案：正确答案：令∫一ππxf(x)dx=A，则f(x)=sin3 - 问答题
求
答案：正确答案：
- 问答题
求
答案：正确答案：因为
为奇函数， 所以
sin
2
xcos
2
xdx =
sin
2
x(1一sin
2
x)dx=2(I
2
一I
4
)
- 问答题
计算
答案：正确答案：x=1为被积函数的无穷间断点，则
- 问答题
设f(a)=f(b)=0，∫ a b f 2 (x)dx=1，f"(x)∈C[a，b]．求∫ a b xf(x)f"( x)dx;
答案：正确答案：∫ a b xf(x)f"(x)dx= - 问答题
求曲线y=
与x轴围成的区域绕x轴、y轴形成的几何体体积．答案：正确答案：V x =
取[x，x+dx]
，则dV
y
=2πxcosxdx， 故V
y
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设f(x)=∫ 一1 x (1一|t|)dt(x＞一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围成的平面区域的面积．
答案：正确答案：当一1＜x≤0时，f(x)=∫一1x(1一|t|)dt=∫ - 问答题
求由曲线y=4一x 2 与x轴围成的部分绕直线x=3旋转一周所成的几何体的体积．
答案：正确答案：取[x，x+dx]
[一2，2]，则dV=2π(3一x)(4一x2)dx， V... - 问答题
设f(a)=f(b)=0，∫ a b f 2 (x)dx=1，f"(x)∈C[a，b]．证明：∫ a b f "2 (x) dx x 2 f 2 (x)dx≥
答案：正确答案：∫ a b xf(x)f"(x)dx=
≤∫
a
b
f
"2
(x)dx∫
a
b
x
2
f
2
(x)dx． - 问答题
求
答案：正确答案：