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问答题
求
求
答案：
正确答案：令
=t，则
=t
2
arctan（1+t）一t+ln（t
2
+2t+2）+C
=t，则
=t
2
arctan（1+t）一t+ln（t
2
+2t+2）+C
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所以
问答题
设φ(x)=∫ a b ln(x 2 +t)dt，求φ"(x)，其中a＞0，b＞0．
答案：
正确答案：φ(x)=∫
a
b
ln(x
2
+t)d(x
2
+t)=
φ(x)=2xln(x
2
+b)一2xln(x
2
+a)=
φ(x)=2xln(x
2
+b)一2xln(x
2
+a)=
问答题
设f(x)连续，且F(x)=∫ 0 x (x一2t)f(t)dt．证明：若f(x)是偶函数，则F(x)为偶函数;
答案：
正确答案：设f(一x)=f(x)，因为F(一x)=(一x一2t)f(t)dt
∫0
∫0
=2n．
为奇函数， 所以
sin
2
xcos
2
xdx =
sin
2
x(1一sin
2
x)dx=2(I
2
一I
4
)
与x轴围成的区域绕x轴、y轴形成的几何体体积．
取[x，x+dx]
，则dV
y
=2πxcosxdx， 故V
y
问答题
设f(a)=f(b)=0，∫
a
b
f
2
(x)dx=1，f"(x)∈C[a，b]．证明：∫
a
b
f
"2
(x) dx x
2
f
2
(x)dx≥
设f(a)=f(b)=0，∫
a
b
f
2
(x)dx=1，f"(x)∈C[a，b]．证明：∫
a
b
f
"2
(x) dx x
2
f
2
(x)dx≥
答案：
正确答案：∫
a
b
xf(x)f"(x)dx=
≤∫
a
b
f
"2
(x)dx∫
a
b
x
2
f
2
(x)dx．
≤∫
a
b
f
"2
(x)dx∫
a
b
x
2
f
2
(x)dx．
