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问答题
(2000年试题，七)某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为
(2000年试题，七)某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为
，流入湖泊内不含A的水量为
，流出湖泊的水量为
．已知1999年底湖中A的含量为5m
0
，超过国家规定指标．为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过
．问至多需经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至m
0
以内(注:设湖水中A的浓度是均匀的)
答案：
正确答案：根据题意，设t=0代表2000年初，t的单位为年，在t时刻湖中污染物A的总量为m，则浓度
，则在时间...
，则在时间...
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问答题
(2012年试题，三)已知函数f(x)满足方程f "" (x)+f " (x)一2f(x)=0及f " (x)+f(x)=2e x求f(x)的表达式；
答案：
正确答案：齐次方程f""(x)+f"(x)一f(x)=0的特征方程为r
问答题
(2011年试题，三)设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点，记α为曲线l在点(x，y)外切线的倾角，若
(2011年试题，三)设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点，记α为曲线l在点(x，y)外切线的倾角，若
的表达式．
答案：
正确答案：
两边对x得
即(1+y12)y"=y
两边对x得
即(1+y12)y"=y
问答题
(2012年试题，三)已知函数f(x)满足方程f
""
(x)+f
"
(x)一2f(x)=0及f
"
(x)+f(x)=2e
x求曲线
(2012年试题，三)已知函数f(x)满足方程f
""
(x)+f
"
(x)一2f(x)=0及f
"
(x)+f(x)=2e
x求曲线
的拐点．
答案：
正确答案：由(1)知f(x)=ex，则曲线
分别求它的一阶、二阶导数
令y
分别求它的一阶、二阶导数
令y
问答题
(2009年试题，三(20))设y=y(x)是区间(一π，π)内过点
(2009年试题，三(20))设y=y(x)是区间(一π，π)内过点
的光滑曲线，当一π
""+y+x=0，求y(x)的表达式．
答案：
正确答案：由题意，当一π
问答题
(2004年试题，三(6))某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下．现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km／h．经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6．0×10 6 )．问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少(注：kg表示千克，km／h表示千米／小时)
答案：
正确答案：由题设，设飞机质量为m=9000(kg)，着陆时的水平速度为vo=700(km／h)，并...
问答题
(2003年试题，九)有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图1—6—1)，容器的底面圆的半径为2m，根据设计要求，当以3m
3
／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以,mn
2
／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)．
(2003年试题，九)有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图1—6—1)，容器的底面圆的半径为2m，根据设计要求，当以3m
3
／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以,mn
2
／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)．
根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；
答案：
正确答案：由题设，设t时刻时液面的高度为y，则此时液面面积S=π[φ(y)]2，由已知
...
...
求曲线x=φ(y)的方程．(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分)
问答题
(2003年试题，八)设位于第一象限的曲线y=f(x)过点
(2003年试题，八)设位于第一象限的曲线y=f(x)过点
其上任一点P(x，y)处的法线与)，轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分．求曲线y=f(x)的方程；
答案：
正确答案：由题设，曲线y=f(x)上任一点P(x，y)处的法线方程为
令x=0，得出该法线与y轴的交点Q的坐标...
令x=0，得出该法线与y轴的交点Q的坐标...
问答题
(2003年试题，八)设位于第一象限的曲线y=f(x)过点
(2003年试题，八)设位于第一象限的曲线y=f(x)过点
其上任一点P(x，y)处的法线与)，轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分．已知曲线)，=sinx在[0，π]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s．
答案：
正确答案：曲线y=sinx在[0，π]上弧长为l，则由弧长公式知
由前述已知，将曲线y=f(x)的方程写为参数...
由前述已知，将曲线y=f(x)的方程写为参数...
，问雪堆全部融化需要多少小时？
问答题
(2001年试题，八)设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x>0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点
(2001年试题，八)设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x>0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点
．(1)试求曲线L的方程；(2)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围成图形的面积最小．
答案：
正确答案：由题设，设曲线L在点P(x，y)的切线方程为Y—y=)y"(X一x)， 则该切线在y轴上...
问答题
(2000年试题，七)某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为
(2000年试题，七)某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为
，流入湖泊内不含A的水量为
，流出湖泊的水量为
．已知1999年底湖中A的含量为5m
0
，超过国家规定指标．为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过
．问至多需经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至m
0
以内(注:设湖水中A的浓度是均匀的)
答案：
正确答案：根据题意，设t=0代表2000年初，t的单位为年，在t时刻湖中污染物A的总量为m，则浓度
，则在时间...
，则在时间...
问答题
(1999年试题，九)设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y " (x)>0，y(0)=1．通过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S 1 ，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯：形面积记为S 2 ，并设2S 1 一S 2 恒为1，求此曲线)，=y(x)的方程．
答案：
正确答案：由题设，曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为y一y=y"(x)(X一x)，它与...
问答题
(1998年试题，十)设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为
(1998年试题，十)设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为
，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值．
答案：
正确答案：由题设，曲线上凸，因而y""<0，由曲率公式得
化简得
令p=y
化简得
令p=y
问答题
(1998年试题，七)从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度)，(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系．设仪器在重力的作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为B，海水密度为p，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k>0)．试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y(v)．
答案：
正确答案：由题设，建立坐标系，取沉放点为坐标原点O，Oy轴竖直向下为正，由已知仪器重力为mg，浮力为一Bρ，阻力为
问答题
(1997年试题，五)设曲线L的极坐标方程为r=r(θ)，M(r，θ)为L上任一点，M 0 (2，0)为L上一定点．若极径OM 0 ，OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M 0 ，M两点间弧长值的一半，求曲线L的方程．
答案：
正确答案：根据题意，由面积与弧长的计算公式得
将上式两边对θ求导，得
，即
，此为可分离变...
将上式两边对θ求导，得
，即
，此为可分离变...
