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问答题

设
，求△ABC的面积．

答案： 解
={-2，-1，-3}×{-1，4，2}={10，7，-9}，
则△ABC的面积为
．
题目列表

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问答题

设f(x)在区间[0，1]上可导，
．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)+ξf"(ξ)=0．

答案： [证明] 令φ(x)=x2f(x)，由积分中值定理得
，其中c∈
，即φ(c)...
问答题

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得

答案： [证明] 令
，显然φ(x)在[a，b]上可导，又φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得...
问答题

设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且
．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f"(ξ)=0．

答案： [证明] 令
，因为F(0)=F(π)=0，所以存在x1∈(0，π)，使得F"(x
问答题

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且|f"(x)|≤2．证明：

答案： [证明] 由微分中值定理得f(x)-f(0)=f"(ξ1)x，其中0＜ξ1＜...
问答题

设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得

答案： [证明] 令
，则F(x)在[a，b]上三阶连续可导，取
，由泰勒公式得

问答题

设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．证明存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；
答案： [证明] S1(c)=cf(c)，
，即证明S1(c)=S
问答题

求曲线
与x轴围成的区域绕x轴、y轴形成的几何体体积．

答案： 解
．
取
，则dV y =2π|x|·cosxdx，
故
问答题

设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．设f(x)在(0，1)内可导，且
，证明(1)中的c是唯一的．
答案： 令
，因为h"(x)=2f(x)+xf"(x)＞0，所以h(x)在[0，1]上为单调函数，所以第一小题中的c是唯一的．
问答题

求双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 )所围成的面积．

答案： 解 根据对称性，所求面积为第一卦限面积的4倍，令
则双纽线的极坐标形式为
，第一卦限的面积为


所求面积为A=4A 1 =a 2 ．
问答题

抛物线y 2 =2x把圆x 2 +y 2 =8分成两个部分，求左右两个部分的面积之比．

答案： 解 设左边的面积为S 1 ，右边的面积为S 2 ，
由

则
，
由
得

问答题

设C 1 ，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线C介于C 1 ，C 2 之间，如果过C上任意一点P引平行于x轴和y轴的直线，得两块阴影所示区域A，B有相等的面积，设C的方程是y=x 2 ，C 1 的方程是
，求曲线C 2 的方程．

答案： 解 由题设C：y=x2，C1：
，令C2：x...
问答题

设曲线y=a+x-x 3 ，其中a＜0．当x＞0时，该曲线在x轴下方与y轴、x轴所围成图形的面积和在x轴上方与x轴所围成图形的面积相等，求a．

答案： 解 设曲线y=a+x-x3与x轴正半轴的交点横坐标为α，β(α＜β)，由条件得
，移项得

问答题

求曲线y=x 2 -2x、y=0、x=1、x=3所围成区域的面积S，并求该区域绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V．

答案： 解 区域面积为


问答题

设平面图形D由x 2 +y 2 ≤2x与y≥x围成，求图形D绕直线x=2旋转一周所成的旋转体的体积．

答案： 解 取[x，x+dx]
[0，1]，则
，

问答题

设L：y=e -x (x≥0)．求由y=e -x 、x轴、y轴及x-a(a＞0)所围成平面区域绕x轴一周而得的旋转体的体积V(a)．
答案： 解
．
问答题

求由曲线y=4-x 2 与x轴围成的部分绕直线x=3旋转一周所成的几何体的体积．

答案： 解 方法一 取[x，x+dx]
[-2，2]，则dV=2π(3-x)(4-x2)dx，<...
问答题

曲线y=x 2 (x≥0)上某点处作切线，使该曲线、切线与x轴所围成的面积为
，求切点坐标、切线方程，并求此图形绕x轴旋转一周所成立体的体积．

答案： 解 设切点坐标为(a，a2)(a＞0)，则切线方程为
y-a2=2...
问答题

求摆线
的第一拱绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

答案： 解
问答题

设L：y=e -x (x≥0)．设
，求c．
答案： 解 由
得
，解得
．
问答题

设曲线
与x轴、y轴所围成的图形绕x轴旋转所得立体体积为V 1 (a)，绕y轴旋转所得立体体积为V 2 (a)，问a为何值时，V 1 (a)+V 2 (a)最大，并求最大值．

答案： 解 曲线与x轴和y轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中b=4-a．曲线可化为
，对任意的[x，x+d...
问答题

设一抛物线y=ax 2 +bx+c过点(0，0)与(1，2)，且a＜0，确定a，b，c，使得抛物线与x轴所围图形的面积最小．

答案： 解 因为曲线过原点，所以c=0，又曲线过点(1，2)，所以a+b=2，b=2-a．
因为a＜0，所以b＞0，抛...
问答题

设直线y=kx与曲线
所围平面图形为D 1 ，它们与直线x=1围成平面图形为D 2 ．求k，使得D 1 与D 2 分别绕x轴旋转一周成旋转体体积V 1 与V 2 之和最小，并求最小值；
答案： 解 由方程组
得直线与曲线交点为
．

，则

，令
，因为V"(k)＞0，所以函数V(k)当
时取最小值，且最小值为
．
问答题

求摆线
的长度．

答案： 解
问答题

设曲线
，过原点作切线，求此曲线、切线及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的表面积．

答案： 解 设切点为
，则过原点的切线方程为
，将
代入切线方程，得a=2，
，故切线方...
问答题

设直线y=kx与曲线
所围平面图形为D 1 ，它们与直线x=1围成平面图形为D 2 ．求此时的D 1 +D 2 ．
答案： 解 因为
，所以此时
．
问答题

一半径为R的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为1，求将球从水中取出所做的功．

答案： 解 以球顶部与水面相切的点为坐标原点，x轴铅直向下，取[x，x+dx]
[0，2R]，由于球的密度与水的密度相...
问答题

设a，b为非零向量，且|b|=1，
．求
．

答案： 解
问答题

设
，求△ABC的面积．

答案： 解
={-2，-1，-3}×{-1，4，2}={10，7，-9}，
则△ABC的面积为
．
问答题

求经过平面π 1 ：x+y+1=0与π 2 ：x+2y+2z=0的交线，且与平面π 3 ：2x-y-z=0垂直的平面方程．

答案： 解 设经过两平面π1，π2交线的平面方程为
π：x+y+1+λ(x...
问答题

设点A(1，-1，1)，B(-3，2，-1)，C(5，3，-2)，判断三点是否共线，若不共线求过三点的平面的方程．

答案： 解
，因为
不平行，所以三点不共线．过三点的平面的法向量为
n=
={-4，3...
问答题

求过直线
的平面方程．

答案： 解 s1={1，-1，2}，s2={-1，2，1}，n=s1
问答题

求经过点P 1 (5，-4，3)和P 2 (-2，1，8)及直线
与平面π：x-y+z=0交点的平面方程．

答案： 解 令
得x=2+t，y=1-t，z=-3t，代入x-y+z=0中得t=1，则直线
与平面π：x-y...
问答题

求过点M(1，-2，2)且与直线
垂直的平面方程．

答案： 解 所求平面的法向量为n=s1×s2={2，1，-1}×{0，1，-1)={...
问答题

求过点A(-1，2，3)垂直于
且与平面π：7x+8y+9z+10=0平行的直线方程．

答案： 解 直线
的方向向量为s={4，5，6}，
平面π：7x+8y+9z+10=0的法向量为n...
问答题

求直线
在平面π：x-3y+2z-5=0上的投影直线．

答案： 解 直线
可改写为

过直线L的平面束为π"：x+2y-1+λ(y+z-3)=0，
问答题

求直线
与直线
的夹角．

答案： 解 s1={1，-1，2}，s2={1，0，-2}×{1，3，1}={6，-...
问答题

设
，L 2 ：x+1=y-1=z．若L 1 ⊥L 2 ，求λ。
答案： 解 设
，L 2 ：x+1=y-1=z垂直，则
{1，2，λ}⊥{1，1，1}或1+2+λ=0，解得λ=-3．
问答题

求平面曲线
绕z轴旋转一周所成的曲面，并求该曲面围成的几何体介于z=1与z=4之间的体积．

答案： 解 曲线
绕z轴旋转所成的曲面为∑：x2+y2=4z．设曲面与z=...
问答题

设
，L 2 ：x+1=y-1=z．若L 1 ，L 2 共面，求λ．
答案： 解 s1={1，2，λ}，s2={1，1，1}，s1×...
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