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问答题
设A为mxn实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+A T A，试证当λ＞0时矩阵B为正定矩阵．
答案：
正确答案：因为BT=(λE+ATA)T=λE+A
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问答题
已知二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +3x 2 2 +3x 3 2 +2ax 2 x 3 (a＞0)，通过正交变换化为标准形f=y 1 2 +2y 2 2 +5y 3 2 ，求参数a及所用的正交变换的矩阵．
答案：
正确答案：二次型f及标准形的矩阵分别为
由于A与B相似，有｜A｜=｜B｜，即a=±2． 因a＞0，故a=2，于...
由于A与B相似，有｜A｜=｜B｜，即a=±2． 因a＞0，故a=2，于...
问答题
设二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax=ax 1 2 +2x 2 2 一2x 3 2 +2bx 1 x 3 (b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为一12．求a，b的值；
答案：
正确答案：二次型f的矩阵为
设A的特征值为λi(i=1，2，3)．由题设，有λ...
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问答题
已知二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=4x 2 2 -3x 3 2 +4x 1 x 2 -4x 1 x 3 +8x 2 x 3 ．用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．
答案：
正确答案：矩阵A的特征多项式为
由此得矩阵A的特征值为λ1=1，λ2
由此得矩阵A的特征值为λ1=1，λ2
问答题
设二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax=ax 1 2 +2x 2 2 一2x 3 2 +2bx 1 x 3 (b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为一12．利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
答案：
正确答案：由矩阵A的特征多项式
得A的特征值λ1=λ2=2，λ
得A的特征值λ1=λ2=2，λ
已知A的一个特征值为3．试求y；
把λ=3代入，解得y=2．
求矩阵P，使(AP)
T
(AP)为对角矩阵．
问答题
已知实二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax的矩阵A满足tr(A)=一6．AB=C，其中
已知实二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax的矩阵A满足tr(A)=一6．AB=C，其中
用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；
答案：
正确答案：由题设AB=C，得
由此知λ1=0，λ3=一12是A的特...
由此知λ1=0，λ3=一12是A的特...
问答题
已知二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax在正交变换x=Oy下的标准形为y
1
2
+y
2
2
，且Q的第3列为
已知二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax在正交变换x=Oy下的标准形为y
1
2
+y
2
2
，且Q的第3列为
求矩阵A；
答案：
正确答案：由题设知A的特征值为1，1，0． 且α=(1，0，1)T是属于A的特征值0对应的一个特征...
问答题
已知实二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax的矩阵A满足tr(A)=一6．AB=C，其中
已知实二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax的矩阵A满足tr(A)=一6．AB=C，其中
指出方程f(x
1
，x
2
，x
3
)==1表示何种曲面；
答案：
正确答案：由(1)知f(x1，x2，x3)=1的标准方...
问答题
设3元实二次型f(x)=x
T
Ax经正交变换x=Cy化成f(x)=y
1
2
+y
2
2
．
设3元实二次型f(x)=x
T
Ax经正交变换x=Cy化成f(x)=y
1
2
+y
2
2
．
是Ax=0的解向量．
(1)求所用的正交变换x=Cy；
(2)求A；
(3)写出该实二次型f(x)的表达式．
答案：
正确答案：(1)由二次型f(x)=xTAx经正交变换x=Cy化成f(x)=y1
问答题
设实二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=xA T x的秩为2，且α 1 =(1，0，0) T 是(A一2E)x=0的解，α 2 =(0，一1，1) T 是(A一6E)x=0的解．用正交变换将该二次型化成标准形，并写出所用的正交变换和所化的标准形；
答案：
正确答案：由α1=(1，0，0)T是(A一2E)x=0的解，α2<...
，矩阵B=(kE+A)
2
，其中k为实数，求对角矩阵A，使B与A相似．并求k为何值时，B为正定矩阵．
问答题
已知实二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax的矩阵A满足tr(A)=一6．AB=C，其中
已知实二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax的矩阵A满足tr(A)=一6．AB=C，其中
求出该二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)．
答案：
正确答案：由(1)可得
故原二次型为f(x1，x2，x3...
故原二次型为f(x1，x2，x3...
证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．
问答题
设实二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=xA T x的秩为2，且α 1 =(1，0，0) T 是(A一2E)x=0的解，α 2 =(0，一1，1) T 是(A一6E)x=0的解．写出该二次型；
答案：
正确答案：由于
故所求的二次型为f(x
1
，x
2
，x
3
)=2x
1
2
+3x
2
2
+3x
3
2
一6x
2
x
3
．
故所求的二次型为f(x
1
，x
2
，x
3
)=2x
1
2
+3x
2
2
+3x
3
2
一6x
2
x
3
．
问答题
设实二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=xA T x的秩为2，且α 1 =(1，0，0) T 是(A一2E)x=0的解，α 2 =(0，一1，1) T 是(A一6E)x=0的解．求方程组f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0的解．
答案：
正确答案：由于f(x
1
，x
2
，x
3
)=2x
1
2
+3(x
2
一x
3
)
2
=0，得
,k为任意常数．
,k为任意常数．
问答题
设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A 2 +2A=O．已知A的秩r(A)=2．求A的全部特征值；
答案：
正确答案：设λ为A的一个特征值，对应的特征向量为α，则Aα=λα (α≠0)，A2α=λ...
问答题
设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A 2 +2A=O．已知A的秩r(A)=2．当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．
答案：
正确答案：矩阵A+kE仍为实对称矩阵．由(1)知，A+kE的全部特征值为一2+k，一2+k，k，于是，当k＞2时矩阵A+...
记x=(x
1
,x
2
,……x
n
)
T
，把f(x
1
,x
2
,……x
n
)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的矩阵为A
一1
；
问答题
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B T 为B的转置矩阵，试证：B T AB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．
答案：
正确答案：必要性． 若BTAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x≠0，有xT
是否是正定矩阵．
问答题
设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n，A
ij
是A=(a
ij
)
n×m
中元素a
ij
的代数余子式(i,j=1，2，…，n)，二次型
设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n，A
ij
是A=(a
ij
)
n×m
中元素a
ij
的代数余子式(i,j=1，2，…，n)，二次型
二次型g(x)=x
T
Ax与f(x)的规范形是否相同说明理由．
答案：
正确答案：因为(A一1)TAA一1=(AT<...
为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．计算P
T
DP，其中
问答题
已知二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1一a)x 1 2 +(1一a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为2．求a的值；
答案：
正确答案：二次型f的秩为2．所以r(A)=2，于是
得a=0．
得a=0．
有非零解，且
是正定矩阵．求a；
由于A为正定矩阵，必有a＞0，可排除a=0和a=一1，故a=3．
问答题
设有3阶实对称矩阵A满足A 3 -6A 2 +11A一6E=0，且｜A｜=6．写出用正交变换将二次型f=x T (A+E)x化成的标准形(不需求出所用的正交变换)；
答案：
正确答案：设λ是A的特征值，x是A的关于A所对应的特征向量，由A3一6A2+...
问答题
设3元的实二次型f=x T Ax的秩为1，且A的各行元素之和为3．求一个正交变换x=Py将二次型f=x T Ax化成标准；
答案：
正确答案：由A的各行元素之和为3知，λ1=3是A的特征值，其对应的特征向量为α1
证明二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
；
问答题
设
设
为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．利用(1)的结果判断矩阵B一C
T
A
一1
C是否为正定矩阵，并证明你的结论．
答案：
正确答案：由(1)的结果知，矩阵D合同于矩阵
又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵，从而M的各阶顺序主子式大于...
又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵，从而M的各阶顺序主子式大于...
问答题
已知二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1一a)x 1 2 +(1一a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为2．求正交变换x=Qy，把f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化成标准形；
答案：
正确答案：当a=0时，
可知A的特征值为λ1=λ2=2，λ
可知A的特征值为λ1=λ2=2，λ
问答题
已知齐次线性方程组
已知齐次线性方程组
有非零解，且
是正定矩阵．求x
T
x=1，x
T
Ax的最大值和最小值．
答案：
正确答案：当a=3时，由
得A的特征值为1，4，10． 由于a=3时，A为实对称矩阵，故存在正交矩阵P，经正交...
得A的特征值为1，4，10． 由于a=3时，A为实对称矩阵，故存在正交矩阵P，经正交...
问答题
设有3阶实对称矩阵A满足A 3 -6A 2 +11A一6E=0，且｜A｜=6．判断二次型f=x T (A+E)x的正定性．
答案：
正确答案：由于f=x
T
(A+E)x的标准形的系数全为正，所以f=x
T
(A+E)x正定．
问答题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)
=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
，记
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)
=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
，记
若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
．
答案：
正确答案：记A=2ααT+ββT，因为α，β正交且均为单位向量，所以Aα=(...
问答题
已知二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1一a)x 1 2 +(1一a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为2．求方程f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0的解．
答案：
正确答案：在正交变换x=Qy下,f(x
1
，x
2
，x
3
)=0 化成2y
1
2
+2y
2
2
=0，解之得y
1
=y
2
=0，从而
．
