问答题

求证f(x)=πx(1-x)cosπx-(1-2x)sinπx＞0当
时成立．

答案：注意f(x)在
上连续，且
．先求

其中g(x)=2-π²

你可能感兴趣的试题

从抛物线y=x ² -1的任意一点P(t，t ² -1)引抛物线y=x ² 的两条切线，求这两条切线的切线方程；

答案：抛物线y=x²在点(x0，
)处的方程为

，即

求通过点(1，1)的曲线方程y=f(x)(f(x)＞0)，使此曲线在[1，x]上所形成的曲边梯形面积的值等于曲线终点的横坐标x与纵坐标y之比的2倍减去2，其中x≥1．

答案： [解] 由题意得
对方程两边求导得

，即y(y²-2)dx+2xd...

设
，其中f(s，t)有连续的二阶偏导数．求du．

答案：由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则，得

从抛物线y=x ² -1的任意一点P(t，t ² -1)引抛物线y=x ² 的两条切线，证明该两条切线与抛物线)y=x ² 所围面积为常数．

答案：这两条切线与抛物线y=x²所围图形的面积为

，下证S(t)为常数．方法1°求...

设积分区域D={(x，y)|x ² +y ² ≤x+y}，计算二重积分

答案： [解] 由于x²+y²≤x+y可改写为
，令

求证f(x)=πx(1-x)cosπx-(1-2x)sinπx＞0当
时成立．

答案：注意f(x)在
上连续，且
．先求

其中g(x)=2-π²

设
，其中f(s，t)有连续的二阶偏导数．求

答案：由du中dy，dz的系数分别得

[解析]
是u=f(s，t)与
，

α ₁ =(1，0，0，1) ^T ，α ₂ =(1，1，0，0) ^T ，α ₃ =(0，2，-1，-3) ^T ，α ₄ =(0，0，3，a) ^T ，β=(1，b，3，2) ^T ．a取什么值时α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ 线性相关此时求α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ 的一个极大线性无关组，并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出．

答案： [解] 两个小题都关系到秩，α₁，α₂，α₃，α

α ₁ =(1，0，0，1) ^T ，α ₂ =(1，1，0，0) ^T ，α ₃ =(0，2，-1，-3) ^T ，α ₄ =(0，0，3，a) ^T ，β=(1，b，3，2) ^T ．在α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ 线性相关的情况下，b取什么值时β可用α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ 线性表示写出一个表示式．

答案： r(α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ ，β)=r(α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ )=3，则b=2．β=-7α ₁ +8α ₂ -3α ₃ ．

设
求作可逆矩阵P，使得(AP) ^T AP是对角矩阵．

答案： [解] (AP)^TAP=P^TA^TAP=PTA^...

设
k取什么值时A+kE正定

答案：求出|λE-A|=(λ²-1)(λ²-5λ)，A的特征值为-1，0，1，5，...

设二维连续型随机变量(X，Y)服从区域D上的均匀分布，其中
D={(x，y)|0≤y≤x≤2-y}．
试求：X+Y的概率密度；

答案：如图，区域D即△AOB的面积S_D=1，因此(X，Y)的概率密度为

...

独立重复某项试验，直到成功为止．每次试验成功的概率为p，假设前5次试验每次试验费用为100元，从第6次起，每次试验费用为80元，试求该项试验总费用的期望值W．

答案： [解] 以X表示试验的次数，由题设知X服从几何分布，其分布为
P{X=n}=pq^n-1，...

设二维连续型随机变量(X，Y)服从区域D上的均匀分布，其中
D={(x，y)|0≤y≤x≤2-y}．
试求：X的边缘概率密度；

答案：

设二维连续型随机变量(X，Y)服从区域D上的均匀分布，其中
D={(x，y)|0≤y≤x≤2-y}．
试求：P{Y≤0.2|X=1.5}．

答案：当X=1.5时f _X (1.5)=0.5，条件密度

故