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问答题设函数f(x)以2π为周期，且其在[-π，π)上的表达式为f(x)=|x|，求f(x)的傅里叶级数，并求
设函数f(x)以2π为周期，且其在[-π，π)上的表达式为f(x)=|x|，求f(x)的傅里叶级数，并求
的和．
答案：解
，
b n =0(n=1，2，…)，则
令x=0，则有
，所以
，
令
，
则
，即
，解得
．
，
b n =0(n=1，2，…)，则
令x=0，则有
，所以
，
令
，
则
，即
，解得
．
你可能感兴趣的试题
- 问答题
判断级数
的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛．
答案：解
，由
，得
为单调减少的数列，又
，所以级数
收敛．
因为
，所以
，且
发散，故级数
发散，即级数
条件收敛． - 问答题
判断级数
的敛散性．若收敛是绝对收敛还是条件收敛．
答案：解
因为
且
发散，所以
发散．
又当n充分大时，
单调减少，且
，所以级数
条件收敛． - 问答题
设级数
收敛，又a
n
≤b
n
≤c
n
(n=1，2，…)．证明：级数
收敛．
答案：[证明] 由an≤bn≤cn，得0≤bn - 问答题
设正项级数
收敛，证明
收敛，说明反之不成立．
答案：[证明] 因为
，而
收敛，所以根据正项级数的比较审敛法知
收敛，反之不一定成立，如级数1... - 问答题
设
为发散的正项级数，令S
n
=a
1
+a
2
+…+a
n
(n=1，2，…)．证明：
收敛．
答案：[证明] 显然
单调增加，因为级数
发散，所以
对交错级数
，因为
单调减少，且
，所以
收敛． - 问答题
设a 1 =2，
．证明：
存在；答案：[证明] 因为
，又
，所以
单调减少，而a
n
≥0，即
是单调减少有下界的数列，根据极限存在准则，
存在． - 问答题
设u n ＞0(n=1，2，…)，S n =u 1 +u 2 +…+u n ．证明：
收敛．
答案：[证明] 令
，则
又
单调增加，所以
存在，于是
收敛． - 问答题
设a 1 =2，
．证明：级数
收敛．答案：[证明] 由第一小题得
，对级数
，Sn=(a1-a - 问答题
若正项级数
与正项级数
都收敛，证明下列级数收敛：
答案：[证明] 因为
，且
收敛，所以
收敛． - 问答题
若正项级数
与正项级数
都收敛，证明下列级数收敛：
答案：[证明] 因为
，且
收敛，所以
收敛． - 问答题
判断级数
的敛散性，若级数收敛，判断其是绝对收敛还是条件收敛．
答案：解 级数
是交错级数，因为
单调减少且
，所以
收敛．
因为n→∞时，
，且
发散，所以
发散，即级数
为条件收敛． - 问答题
设
为两个正项级数．证明：若
，且
收敛，则
收敛；答案：[证明] 取ε0=1，由
，根据极限的定义，存在N＞0，当n＞N时，
，即0≤... - 问答题
求幂级数
的收敛区间．
答案：解 由
得收敛半径为R=1，
当x=-1时，
发散；
当x=1时，
收敛，故幂级数
的收敛区间为(-1，1]． - 问答题
设
为两个正项级数．证明：若
，且
发散，则
发散．答案：[证明] 根据上一小题，当n＞N时，有0≤a n ＜b n ，因为
发散，所以
发散，由比较审敛法，
发散，进一步得
发散． - 问答题
求幂级数
的收敛区间．
答案：解 由
得收敛半径为
，当
时，
发散，故级数的收敛区间为
． - 问答题
求幂级数
的收敛区间．
答案：解 令x-1=t，显然级数
的收敛半径为R=1，又当t=±1时，由
收敛，得级数
绝对收敛... - 问答题
求幂级数
的收敛区间．
答案：解 由
得收敛半径为
，
当
时，
收敛，
当
时，
发散，故级数的收敛区间为
． - 问答题
求幂级数
的和函数．
答案：解 由
，得幂级数的收敛半径为
，当
时，
收敛，故级数的收敛域为
．
令
，
则
，又S(0)=0，
所以
． - 问答题
求幂级数
的和函数·
答案：解 由
得收敛半径为R=4，当x=±4时，因为n→∞时，
，所以幂级数的收敛域为(-4，4)． - 问答题
求幂级数
的和函数．
答案：解 幂级数
的收敛半径为R=1，收敛区间为(-1，1)．
令
，
则
- 问答题
求幂级数
的和函数．
答案：解 幂级数
的收敛半径为R=1，收敛区间为(-1，1)．
令
，
则
从而
- 问答题
求幂级数
的和函数．
答案：解 幂级数
的收敛半径为R=+∞，收敛区间为(-∞，+∞)．
令
，则
- 问答题
求幂级数
的和函数．
答案：解 令x+1=t，
得收敛半径为R=1，当t=±1时，因为
≠0，所以收敛区间为-1＜t＜1，从而-... - 问答题
求幂级数
的收敛域，并求其和函数．
答案：解
，则收敛半径为R=2，
当x=-2时，
收敛；
当x=2时，
发... - 问答题
求幂级数
的收敛域及和函数．
答案：解 由
得该级数的收敛半径为R=1，因为当x=±1时，
发散，所以级数的收敛区间为(-1，1)． - 问答题
求级数
的收敛域与和函数．
答案：解 令x2+x+1=t，则级数化为
，由
，所以级数
的收敛半径为R... - 问答题
求幂级数
的和函数S(x)及其极值．
答案：解 令
，则
(注意使用
)
令
，得唯一驻点x=0，当x＜0时，S"... - 问答题
将f(x)=arctanx展开成x的幂级数．
答案：解 由
，f(0)=0，得
，由逐项可积性得
，显然x=±1时级数收敛，所以
． - 问答题
将
展开成x-2的幂级数．
答案：解
得
，
于是
． - 问答题
将
展开成x的幂级数．
答案：解
- 问答题
设有幂级数
．求该幂级数的收敛域；答案：解 因为
，所以收敛半径为R=+∞，故幂级数的收敛域为(-∞，+∞)． - 问答题
设函数f(x)以2π为周期，且其在[-π，π)上的表达式为f(x)=|x|，求f(x)的傅里叶级数，并求
的和．
答案：解
，
b n =0(n=1，2，…)，则
令x=0，则有
，所以
，
令
，
则
，即
，解得
． - 问答题
设有幂级数
．证明此幂级数满足微分方程y"-y=-1；答案：解 令
，
则
故该幂级数满足微分方程y"-y=-1． - 问答题
将
展开成傅里叶级数．
答案：解 函数f(x)在[-π，π]上满足狄里克莱充分条件，将f(x)进行周期延拓，
b - 问答题
设有幂级数
．求此幂级数的和函数．答案：解 由f"(x)-f(x)=-1得f(x)=C1e-x+C2
