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问答题
设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’’(x)＞0，取x i ∈[a，b](i=1，2，…，n)及k i ＞0(i=1，2，…，n)且满足k 1 +k 2 +…+k n =1．证明： f(k 1 x 1 +k 2 x 2 +…+k n x n )≤k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+…+k n f(x n )．
答案：
正确答案：令x0=k1x1+k2...
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求a，b的值．
求f(x)的间断点并判断其类型．
问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶连续可导．证明：存在ξ∈(a，b)，使得
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答案：
正确答案：因为f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有
两式相加得f(a)+f(b)－
[f’’(ξ<...
两式相加得f(a)+f(b)－
[f’’(ξ<...
问答题
设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f’’(x)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c为(0，1)内任意一点．写出f(x)在x=c处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式；
答案：
正确答案：f(x)=f(c)+f’(c)(x－c)+
(x－c)
2
，其中ξ介于c与x之间．
(x－c)
2
，其中ξ介于c与x之间．
问答题
设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f’’(x)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c为(0，1)内任意一点．证明：
设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f’’(x)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c为(0，1)内任意一点．证明：
答案：
正确答案：分别令x=0，x=1，得 f(0)=f(c)－f’(c)c+
ξ1∈(0，c)...
ξ1∈(0，c)...
对x＞0，有ln(1+x)＜ξ＜x=>
所以原式=2．
问答题
设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=f(b)=0．证明：
｜f(x)｜≤
设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=f(b)=0．证明：
｜f(x)｜≤
∫
a
b
｜f’(x)｜dx(a＜x＜b)．
答案：
正确答案：因为
且f(a)=f(b)=0，所以
两式相加得｜f(x)｜≤
[∫
a
b
｜f’(x)｜dx．
且f(a)=f(b)=0，所以
两式相加得｜f(x)｜≤
[∫
a
b
｜f’(x)｜dx．
问答题
已知
已知
设D为由x=0、y=0及x+y=t所围成的区域，求F(t)=
f(x，Y)dxdy．
答案：
正确答案：当t＜0时，F(t)=0； 当0≤t＜1时，
当1≤t＜2时，
当t≥2时，F(t)=1．
当1≤t＜2时，当t≥2时，F(t)=1．
问答题
设f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域D上连续，且g(x，y)≥0．证明：存在(ξ，η)∈D，使得
设f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域D上连续，且g(x，y)≥0．证明：存在(ξ，η)∈D，使得
答案：
正确答案：因为f(x，y)在D上连续，所以f(x，y)在D上取到最大值M和最小值m，故m≤f(x，y)≤M，又由g(x，...
一定收敛．
的收敛域．
展开成x的幂级数．
由逐项可积性得 f(x)－f(0)=∫
0
x
f’(x)dx=
所以
问答题
设
设
且a
0
=1，a
n+1
=a
n
+n(n=0，1，2，…)．求f(x)满足的微分方程；
答案：
正确答案：
则f(x)满足的微分方程为f’(x)－f(x)=xex，f(x)=[∫xe<...
则f(x)满足的微分方程为f’(x)－f(x)=xex，f(x)=[∫xe<...
问答题
设二阶常系数线性微分方程y’’+ay’+by=ce x 有特解y=e 2x +(1x)e x ，确定常数a，b，c，并求该方程的通解．
答案：
正确答案：将y=e2x+(1+x)ex代入原方程得(4+2a+b)e
且a
0
=1，a
n+1
=a
n
+n(n=0，1，2，…)．求
问答题
一条曲线经过点(2，0)，且在切点与Y轴之间的切线长为2，求该曲线．
答案：
正确答案：曲线在点(x，y)处的切线方程为Y－y=y’(X－x)， 令X=0，则Y=y－xy’，切线与y轴的交点为(0，...
问答题
设非负函数f(x)当x≥0时连续可微，且f(0)=1．由y=f(x)，x轴，y轴及过点(x， 0)且垂直于x轴的直线围成的图形的面积与y=f(x)在[0，x]上弧的长度相等，求f(x)．
答案：
正确答案：根据题意得
分离变量得
积分得
由y(0)=1，得C=1，所以
分离变量得积分得由y(0)=1，得C=1，所以
