问答题

设A为n阶非奇异矩阵，α是n维列向量，b为常数，
计算PQ；

答案：正确答案：

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设A是正交矩阵，且|A|＜0．证明：|E+A|=0．

答案：正确答案：因为A是正交矩阵，所以A^TA=E，两边取行列式得|A|²=1，因为...

设A，B为三阶矩阵，且A～B，且λ ₁ =1，λ ₂ =2为A的两个特征值，|B|=2，求

答案：正确答案：因为A～B，所以A，B特征值相同，设另一特征值为λ₃，由|B|=λ₁

设A为n阶非奇异矩阵，α是n维列向量，b为常数，
计算PQ；

答案：正确答案：

设A为n阶非奇异矩阵，α是n维列向量，b为常数，
证明PQ可逆的充分必要条件是α ^T A ^－1 α≠b．

答案：正确答案：|PQ|=|A| ² (b－α ^T A ^－1 α)，PQ可逆的充分必要条件是|PQ|≠0，即α ^T A ^－1 α≠b．

设α，β是n维非零列向量，A=αβ ^T +βα ^T ．证明：r(A)≤2．

答案：正确答案：r(A)=r(αβ^T+βα^T)≤r(βα^T)...

设A是n(n≥3)阶矩阵，证明：(A ^* ) ^* =|A| ^n－2 A．

答案：正确答案：(A^*)^*A^*=|A^*...

设α ₁ ，α ₂ ，…，α _t 为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+α ₁ ，β+α ₂ ，…，β+α _t 线性无关．

答案：正确答案：方法一由α₁，α₂，…，α_t线性无关

A，B为n阶矩阵且r(A)+r(B)＜n．证明：方程组AX=0与BX=0有公共的非零解．

答案：正确答案：方程组
X=0的解即为方程组AX=0与BX=0的公共解．因为r
≤r(A)+r(B)＜n...

设A是m×s阶矩阵，B是s×n阶矩阵，且r(B)=r(AB)．证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组．

答案：正确答案：首先，方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解．令r(B)=r且ξ₁，ξ_2...

证明：r(AB)≤min{r(A}，r(B}}．

答案：正确答案：令r(B)=r，BX=0的基础解系含有n－r个线性无关的解向量，因为BX=0的解一定是ABX=0的解，所以A...

当a，b取何值时，方程组
无解、有唯一解、有无数个解在有无数个解时求其通解．

答案：正确答案：
(1)当a≠－1且a≠6时，方程组有唯一解； (2)当a=6时，
因为r(A)=r(

设矩阵A=
若A有一个特征值为3，求a；

答案：正确答案：|λE－A|=(λ ² －1)[λ ² －(a+2)λ+2a－1]，把λ=3代入上式得a=2，于是

设矩阵A=
求可逆矩阵P，使得P ^T A ² P为对角矩阵．

答案：正确答案：由|λE－A²|=0得A²的特征值为λ₁=λ...

设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．证明α，Aα线性无关；

答案：正确答案：若α，Aα线性相关，则存在不全为零的数k₁，k₂，使得k_...

设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．若A ² α+Aα－6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；

答案：正确答案：由A²α+Aα－6α=0，得(A²+A－6E)α=0，因为α≠0...

(1)若A可逆且A～B，证明：A ^* ～B ^* ； (2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．

答案：正确答案：(1)因为A可逆且A～B所以B可逆，A，B的特征值相同且|A|=|B|．因为A～B，所以存在可逆矩阵P，使得...

求a，b及可逆矩阵P，使得P ^－1 AP=B．

答案：正确答案：由|λE－B|=0，得λ₁=－1，λ₂=1，λ₃

三元二次型f=X ^T AX经过正交变换化为标准形f=y ₁ ² +y ₂ ² －2y ₃ ² ，且A ^* +2E的非零特征值对应的特征向量为α ₁ =
，求此二次型．

答案：正确答案：因为f=X^TAX经过正交变换后的标准形为f=y₁²