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问答题

求由方程
所确定函数z=z(x，y)在点(1，0，-1)处的全微分．

答案： [解]
的两边分别对x，y求偏导数，并解出z" x ，z" y ，得


故
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你可能感兴趣的试题

问答题

设
求f(x，y)．

答案： [解]令u=x+y，
则


故
问答题

求
的定义域．

答案： [解]对arcsin(2x)，Df：|2x|≤1，
对
Df
问答题


答案： [解]因为当(x，y)沿x=y的路径趋于无穷时，
而
所以

又

故
不存在．
问答题

求极限

答案： [解]
问答题

设
求f" x (0，0)，f" y (0，0)．

答案： [解]
同理有f" y (0，0)=0．
问答题

求由方程
所确定函数z=z(x，y)在点(1，0，-1)处的全微分．

答案： [解]
的两边分别对x，y求偏导数，并解出z" x ，z" y ，得


故
问答题


答案： [解]
问答题

设u=x yz ，求

答案： [解]
问答题


答案： [解]令xy=u，x+y=u，
则

问答题

设z=f(2x-y)+g(x，xy)，其中f(t)二阶可导，g(u，ν)具有连续的二阶偏导数，求

答案： [解]
问答题

设z=f(2x-y，ysinx)，其中f具有连续的二阶偏导数，求

答案： [解]令u=2x-y，ν=ysinx，则z=f(u，ν)，

问答题

设u=f(x，y，z)，φ(x 2 ，e y ，z)=0，y=sinx．其中，f，φ都具有一阶连续偏导数，且
求

答案： [解]

φ(x 2 ，e y ，z)=0的两边对x求偏导，得


故
问答题

设ω=f(t)，t=φ(xy，x 2 +y 2 )，其中f，φ具有连续的二阶导数及偏导数，求

答案： [解]如图所示中，令①代表xy，②代表(x 2 +y 2 )，



问答题

已知函数u=u(x，y)存在二阶连续偏导数满足方程

试选择参数α，β，利用变换u(x，y)=v(x，y)e αx+βy 将原方程变形，使新方程中不出现一阶偏导数项．
答案： [解]

将②，③，④，⑤代入①并消去e αx+βy ，得


由题意可知，应令2α+a=0，

故原方程
问答题

设y=f(x，t)，而t是由方程F(x，y，t)=0所确定的x，y的函数，求

答案： [解]
确定y，t为x的一元函数．
两个方程的两边分别对x求偏导，得

问答题

已知函数u=u(x，y)存在二阶连续偏导数满足方程

再令ξ=x+y，η=x-y，使新方程变换形式．
答案： [解]令ξ=x+y，η=x-y，故


代入⑥，得
问答题


答案： [解]所给的方程组中含有五个变量x，y，z，u，ν，从所求的结果中明显看出u，ν是因变量，x，z是自变量，y究竟是因变量...
问答题

设函数z(x，y)由方程
所确定，证明：

答案： [证法一]公式法：先求



上面两式相加，即得

[证法二...
问答题

设u=f(x，y)，其中，y是由方程φ(x，y)=0所确定的x的函数(f及φ均有连续的二阶偏导数)，求

答案： [解]


方程φ(x，y)=0的两边对x求导，得


解得

将式②和式③代入式①，得

问答题

求曲线
在t=0处的切线和法平面方程．

答案： [解]当t=0时，

x"=etcost，x"(0)=1；y"=2cost-s...
问答题

求曲线
在点(1，-2，1)处的切线和法平面方程．

答案： [解]令F(x，y，z)=x2+y2+z2-6，
问答题

求曲面z-e z +2xy=3在点(1，2，0)处的切平面方程和法线方程．

答案： [解]令F(x，y，z)=z-ez+2xy-3，
F"x|
问答题

求过直线
且与曲面
相切的切平面方程．

答案： [解]令

则F"x=4x，F"y=-4y，F"
问答题

试证：曲面
上任意一点处的切平面在各坐标轴上截距的平方和等于常数a 2 ．

答案： [证]令


故，在曲面上任一点(x0，y0，...
问答题

求由方程x 2 +y 2 +z 2 -2x+2y-4z-10=0确定的函数z=f(x，y)的极值．

答案： [解法一]方程的两边分别对x，y求偏导，得，


由函数取极值的必要条件
问答题

求函数
在(x-y) 2 -z 2 =1条件下的极值．

答案： [解]简单即求ν=x2+y2+z2在条件(x-y)
问答题

求二元函数z=f(x，y)=x 2 y(4-x-y)在直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭域D上的最大值与最小值．

答案： [解](1)先求函数在D内的驻点(如图所示)，解方程组


问答题

已知三角形周长为2p，试求此三角形绕自己的一边旋转时所构成的旋转体体积的最大值．

答案： [解]设三角形的三边分别为x，y，z(如图所示)，不妨设它绕AC边旋转，AC边上的高为h，面积为5，于是
问答题

在平面
与三坐标面所围成的四面体内(如图所示)，作一个以该平面为顶面，在xOy坐标面上的投影为长方形(与AB相接)的六面体中体积之最大者(其中a，b，c＞0)．

答案： [解]如题图所示，则六面体体积为


直线AB：

令


解方程

得
此时


即所求最大体积为
问答题

设x+y+z=e xy ，求

答案： [解]方程x+y+z=exy两边微分，得
dx+dy+dz=exy...
问答题

在第Ⅰ卦限内作椭球面
的切平面，使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标．

答案： [解]设P(x0，y0，z0)为椭球面上一点，令
问答题

设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)|x 2 +y 2 -xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75-x 2 -y 2 +xy．设M(x 0 ，y 0 )为区域D上一点，问h(x，y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大若记此方向导数的最大值为g(x 0 ，y 0 )，试写出g(x 0 ，y 0 )的表达式．
答案： [解]由梯度的几何意义知，h(x，y)在点M(x0，y0)处沿梯度gradh...
问答题

设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)|x 2 +y 2 -xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75-x 2 -y 2 +xy．现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在D的边界线x 2 +y 2 -xy=75上找出使(1)中的g(x，y)达到最大值的点，试确定攀登起点的位置．
答案： [解]令f(x，y)=g2(x，y)=5x2+5y2-...
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