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设有向量组(Ⅰ)：α₁=(1，0，2)^T，α₂=(1，1，3)^T，α₃=(1，-1，a+2)^T和向量组(Ⅱ)：β₁=(1，2，a+3)^T，β₂=(2，1，a+6)^T，β₃=(2，1，a+4)^T．试问：当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价

设向量β可由向量组α₁，α₂，…，α_m线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α₁，α₂，…，α_m-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α₁，α₂，…，α_m-1，β，则()
 

设A，B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有()
 

设向量组Ⅰ：α₁，α₂，…，α_r可由向量组Ⅱ：β₁，β₂，…，β_s线性表示，则()
 

已知向量组(Ⅰ)：α₁，α₂，α₃；(Ⅱ)：α₁，α₂，α₃，α₄；(Ⅲ)：α₁，α₂，α₃，α₅．如果各向量组的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4．
证明向量组α₁，α₂，α₃，α₅-α₄的秩为4．

已知向量组

与向量组

具有相同的秩，且β₃可由α₁，α₂，α₃线性表示，求a，b的值．

设有齐次线性方程组

试问a为何值时，该方程组有非零解，并求其通解．

设齐次线性方程组

其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解，有无穷多组解在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．

设α_i=(a_i1，a_i2，…，a_in)^T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α₁，α₂，…，α_r线性无关．已知β=(b₁，b₂，…，b_n)^T是线性方程组

的非零解向量。试判断向量组α₁，α₂，…，α_r，β的线性相关性．

设n阶矩A的伴随矩阵A^*≠O，若ξ₁，ξ₂，ξ₃，ξ₄是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系（）

设α₁，α₂，…，α_s为线性方程组Ax=0的一个基础解系：
β₁=t₁α₁+t₂α₂，β₂=t₁α₂+t₂α₃，…，β_s=t₁α_s+t₂α₁，其中t₁，t₂为实常数．试问t₁，t₂满足什么关系时，β₁，β₂，…，β_s也为Ax=0的一个基础解系．

已知三阶矩阵A的第1行是(a，b，c)不全为零，矩阵
(k为常数)，且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解．

已知方程组无解，则a=（）．

设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若秩秩（A），则线性方程组()

已知非齐次线性方程组

有三个线性无关的解。
(Ⅰ)证明方程组系数矩阵A的秩r(A) =2；
(Ⅱ)求a，b的值及方程组的通解．

设线性方程组

已知(1，-1，1，-1)^T是该方程组的一个解．试求
(Ⅰ)方程组的全部解，并用对应的齐次方程组的基础解系表示全部解；
(Ⅱ)该方程组满足x₂=x₃的全部解．

设有齐次线性方程组Ix=0和Px=0，其中I，P均m×；n矩阵，现有4个命题：
①若Ix=0的解均是Px=0的解，则秩（I）&ge；秩（P）；
②若秩（I）&ge；秩（P），则Ax=0的解均是Bx=0的解；
③若Ix=0与Px=0同解，则秩（I）=秩（P）；
④若秩（I）=秩（P）则Ix=0与Px=0同解．
以上命题中正确的是（）

设4元齐次线性方程组(Ⅰ)为

而已知另一4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为
α₁=(2，-1，a+2，1)^T，α₂=(-1，2，4，a+8)^T．
(1)求方程组(Ⅰ)的一个基础解系；
(2)当a为何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解在有非零公共解时，求出全部非零公共解．

设A为n阶实矩阵，A^T是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：A^TAx=0，必有()
 

矩阵的非零特征值是（）。

已知下列非齐次线性方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)

(1)求解方程组(Ⅰ)，用其导出组的基础解系表示通解．
(2)当方程组中的参数m，n，t为何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．

设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于()

设A为2阶矩阵，α₁，α₂为线性无关的2维列向量，Aα₁=0，Aα₂=2α₁+α₂，则A的非零特征值为（）．

设向量α=(a₁，a₂，…a_n)^T，β=(b₁，b₂，…b_n)^T都是非零向量，且满足条件α^Tβ=0，记n阶矩阵A=αβ^T．求：(Ⅰ)A²．(Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量．

设矩阵
，B=P^-1A^*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A^*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

已知3阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A²x线性无关，且满足A³x=3Ax-2A²x.
(1)记P=(x，Ax，A²x)，求3阶矩阵B，使A=PBP^-1；(2)计算行列式|A+E|．

已知
是矩阵
的一个特征向量．
(Ⅰ)试确定参数a，b及特征向量ξ所对应的特征值；
(Ⅱ)问A能否相似于对角阵说明理由．

设矩阵
的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．

设矩阵A与B相似，其中

(1)求x和y的值，
(2)求可逆矩阵P，使P^-1AP=B．

设矩阵
，问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵并求出P和相应的对角矩阵．

设A为三阶矩阵，α₁，α₂，α₃是线性无关的三维列向量，且满足
Aα₁=α₁+α₂+α₃，Aα₂=2α₂+α₃，Aα₃=2α₂+3α₃．
(Ⅰ)求矩阵B，使得A(α₁，α₂，α₃)=(α₁，α₂，α₃)B；
(Ⅱ)求矩阵A的特征值；
(Ⅲ)求可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵．

设实对称矩阵
，求可逆矩阵P，使P^-1AP为对角形矩阵，并计算行列式|A-E|的值．

设矩阵
，已知线性方程组Ax=β有解但不唯一，试求：(1)a的值；(2)正交矩阵Q，使Q^TAQ为对角矩阵．

若二次型是正定的，则t的取值范围是（）．

设二次型
，
其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．
(1)求a，b的值；
(2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

二次型f(x₁，x₂，x₃)=(x₁+x₂)²+(x₂-x₃)²+(x₃+x₁)²的秩为（）。

已知二次型
的秩为2．
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x₁，x₂，x₃)化成标准形；
(Ⅲ)求方程f(x₁，x₂，x₃)=0的解．

设A为m阶实对称矩阵，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B) =n．

设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+A^TA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．

设

则A与B（）

设有n元实二次型
f(x₁，x₂，…x_n)=(x₁+a₁x₂)²+(x₂+a₂x₃)²+…+(x_n-1+a_n-1x_n)²+(x_n+a_nx₁)²，其中a_i(i=1，2，…，n)为实数．试问：当a₁，a₂，…a_n满足何种条件时，二次型f(x₁，x₂，…x_n)为正定二次型．

设矩阵

(1)已知A的一个特征值为3，试求y；
(2)求可逆矩阵P，使(AP)^T(AP)为对角矩阵．