问答题

某公司可通过电台及报纸两种方式做某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与电台广告费x₁(万元)及报纸广告费用x₂(万元)之间的关系有如下经验公式：

在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；

答案： [解] 利润函数为

函数z=f(x

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设u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和z=z(x)分别由方程e^xy-y=0和e^z-xz=0所确定，求

答案： [解]

求二元函数z=f(x，y)=x²y(4-x-y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值

答案： [解] 由方程组
得线段x=0(0≤y≤6)及点(4，0)，(2，1)．而点(4，0)及线段x=0(0≤y≤6...

某公司可通过电台及报纸两种方式做某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与电台广告费x₁(万元)及报纸广告费用x₂(万元)之间的关系有如下经验公式：

在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；

答案： [解] 利润函数为

函数z=f(x

求f(x，y)=x+xy-x²-y²在闭区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤2}上的最大值和最小值．

答案： [解] 这是闭区域上求最值的问题．由于函数f(x，y)=x+xy-x²-y²...

求函数z=x²+y²+2x+y在区域D={(x，y)|x²+y²≤1}上的最大值与最小值．

答案： [解] 由于x²+y²≤1是有界闭区域，z=x²+y<...

某公司可通过电台及报纸两种方式做某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与电台广告费x₁(万元)及报纸广告费用x₂(万元)之间的关系有如下经验公式：

若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略．

答案： [解] 若广告费用为1.5万元，则需求利润函数z=f(x₁，x₂)在x

求内接于椭球面
的长方体的最大体积．

答案： [解] 设该内接长方体体积为v，P(x，y，z)(x＞0，y＞0，z＞0)是长方体的一个顶点，且位于椭球面上，由于椭球面...

在第一象限的椭圆
上求一点．使原点到过该点的法线的距离最大．

答案： [解]

椭圆上任意一点(x，y)处的法线方程为
即

在球面x²+y²+z²=5R²(x＞0，y＞0，z＞0)上，求函数f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz的最大值，并利用所得结果证明不等式

答案： [解] 作拉格朗日函数
L(x，y，z，λ)=lnx+lny+3lnz+λ(x²...

设

讨论它们在点(0，0)处的①偏导数的存在性；②函数的连续性；③函数的可微性

答案： [解] 对f(x，y)作如下讨论．
①按定义易知f’_x(0，0)=0，f’

设f(x，y)在点O(0，0)的某邻域U内连续，且
常数
试讨论f(0，0)是否为f(x，y)的极值若为极值，是极大值还是极小值

答案： [解]

再令
于是上式可改写为
...

求函数f(x，y)=x²+2y²-x²y²在区域D={(x，y)|x²+y²≤4，y≥0}上的最大值与最小值．

答案： [解] 先求f(x，y)在D内部的驻点．由
f’_x(x，y)=2x-2xy

设h(t)为三阶可导函数，u=h(xyz)，h(1)=f"_xy(0，0)，h’(1)=f"_yx(0，0)，且满足
求u的表达式，其中

答案： [解] 因

故3xyzh"(xyz)+h’(xyz)=0，令xyz=t...

设
其中f，g，φ在其定义域内均可微，计算中出现的分母均不为0，求

答案： [解] 复合关系复杂，又夹有隐函数微分法，利用微分形式不变性解题比较方便，由z=f(x，y)，有
dz...

设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式
[xy(1+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x²y]dy
为某二元函数u(x，y)的全微分求f(x)；

答案： [解] 由题知，存在二元函数u(x，y)，使
du=[xy(1+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x...

求函数f(x，y)=x²+y²-12x+16y在区域D={(x，y)|x²+y²≤25}上的最大值和最小值．

答案： [解]

点(6，-8)不在区域D内，所以在D内无极值点．又闭区域上的连续函数必有最大值和...

设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式
[xy(1+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x²y]dy
为某二元函数u(x，y)的全微分求u(x，y)的一般表达式．

答案： [解] 由(1)有，du=(xy²+y-ye^-x)dx+(x-1+e

求二元函数z=f(x，y)=x²+4y²+9在区域D={(x，y)x²+y²≤4}上的最大值与最小值．

答案： [解] 按二元函数求极值的方法．因
可得驻点(0，0)，又

...

设函数z=z(x，y)由方程x²-6xy+10y²-2yz-z²+32=0确定，讨论函数z(x，y)的极大值与极小值．

答案： [解] 将x²-6xy+10y²-2yz-z²+32=...

设z关于变量x，y具有连续的二阶偏导数，并作变量变换x=e^u+v，y=e^u-v，请将方程

变换成z关于u，v的偏导数的方程．

答案： [解] 按
的复合关系计算偏导数，为此，先解出

于是有