问答题

求解以下各小题中f(x)的表达式：
f(sin²x)=cos2x+tan²x，0＜x＜1．

答案：
故

你可能感兴趣的试题

求解以下各小题中f(x)的表达式：

答案：
故

设f(x)满足方程：
，其中|a|≠|b|，求f(x)．

答案：令，于是原方程变为
由“无关特性”得
解联立方程组
得

设f(x)是以T＞0为周期的函数，证明f(ax)(a＞0)是以
为周期的函数．

答案：令F(x)=f(ax)，由于

故是f(ax)的周期．

设
，求f(x，y)．

答案：令，则

故

设函数y=f(x)，x∈(-∞，+∞)的图形关于x=a，x=b均对称(a≠b)，
求证：y=f(x)是周期函数，并求其周期．

答案：由题设有f(a+x)=f(a-x)，f(b+x)=f(b-x)，
于是，f(x)=f[a+(x-a)]=f[a...

判别下列函数的奇偶性：

，其中f(x)为连续的偶函数．

答案：
因为
所以 F(x)为奇函数．

设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(x)单调增加，证明
在(a，b)内单调增加．

答案：
因为(x-a)²＞0且f(x)单调上升，当x＞t时，f(x)-f(t)≥0，
...

设函数f(x)在[a，+∞)上连续，且
(l为有限数)，试证：f(x)在[a，+∞)上有界．

答案：因为，所以对于取，
当 x＞X时，恒有，
又|f(x)-l|＞|f(x)|-|l|，所以，
...

试证
在(-∞，+∞)上有界．

答案：令，
因为
所以 g(x)为偶函数．因此也为偶函数，所以只需证明f(x)在[0，+∞)上有界即可．<...

求解以下各小题中f(x)的表达式：
f(sin²x)=cos2x+tan²x，0＜x＜1．

答案：
故

设

答案：

设

答案：
比较以上两式可知 (由数学归纳法可证．)
于是

判别下列函数的奇偶性：

，其中f(x)是连续的奇函数．

答案：， ①
， ②
因为f(x)为奇函数，所以f(x)+f(-x)=0， ③
又因为， ...

判别下列函数的奇偶性：

，其中a＞0，a≠1，f(x)在(-∞，+∞)上有定义，且对任何x，y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)．

答案：令
因为
=0
所以 g(x)为奇函数．
又因为 f(x+y)=f(x)+f(y...

设
，求f[φ(x)]．

答案：图示法的解题程序：1°画出中间变量u=φ(x)的图像；2°将y=f(u)的分界点在xOu坐标面上画出(这是若干条平行于x...

设

答案：令的两边取n→∞时的极限，

以下证明存在：

因为
故
[...

设

答案：令的两边取n→∞时的极限

因为由题设可知所以
以下证明存在：

因为
故

设
，求f[φ(x)]．

答案：所谓分析法就是抓住最外层函数定义域的各区间段，结合中间变量的表达式及中间蛮量的定义域进行分析，从而得出复合函数的方法．<...

设
，其中a＞0，x₀＞0，求．

答案：因为，所以{x_n}有界．
又因为，所以{x_n

答案：
因为
所以
又因为

求下列各极限：

答案：因为每一项中提出后，剩余各项不能用一个通项表示出来．因此不能用定积分定义求解．

故

求下列各极限：

答案：

求下列各极限：

答案：
因为

求下列极限：

答案：
又

求下列极限：

答案：
又
故由夹逼定理，原极限=0．

求下列极限：

答案：取对数得
两边取n→∞时的极限，得

故原极限=e^ln2+(π-4)/2

求下列极限：

答案：因为在[0，1]上，x²≥0，且连续，
所以
其中

答案：本题是型极限，若直接用洛毕达法则，可知所得结果比没用法则前还复杂，这违背了运算的原则．也不符合所介绍的其他两种方法，因此...

求下列极限：

答案：因为

所以

求下列极限：

答案：将根式有理化，于是有

求下列极限：

答案：

求下列极限：

答案：因为

所以

求下列极限：

答案：用洛毕达法则

[另解]

求下列极限：

答案：
其中ε＞0为任意正数，
而
其中，由于0＜sinξ＜1，所以．
又
故

求下列极限：

答案：

求下列极限：

答案：

求下列极限：

答案：因为当x→1时，
所以

求下列极限：

答案：若一直用洛毕达法则，则越来越复杂，得不出结果

[另解]

求下列极限：

答案：因为，于是

因为
所以

求下列极限：

答案：

所以原极限=

设
．问a为何值时，
存在．

答案：由存在f_-(0)=f₊(0)，
而

确定如下无穷小的阶n：
当x→0时，3x-4sinx+sinxcosx与xⁿ为同阶无穷小，则n=______．

答案：
当n-5=0时，即n=5时，极限=，故取n=5．

确定如下无穷小的阶n：
当x→1⁺时，
为同阶无穷小，则n=______．

答案：
当时，其极限=2，故取．

确定常数，使y=x-(a+bcosx)sinx，当x→0时，取得尽可能高阶的无穷小量．

答案： y=x-(a+bcosx)sinx，求其各阶导数，得
y’=1-acosx-bcos2x，y"=asinx+2...

确定下列各题中的常数：
设
，确定常数a，b．

答案：

设
，试证在点x=0处f[g(x)]连续．

答案：根据复合函数的定义有

因此f[g(x)]处处连续，自然f[g(z)]也在x=0点处连续．

讨论
的连续性．

答案：将f(x)改写成

显然，f(x)在(-∞，-1)，(-1，1)，(1，+∞)内连续．下面讨论f(x...

求
的间断点，并指出其类型．

答案：由ln|x|的定义域知x≠0．又由
x²-3x+2=0 得x₁=1...

试确定a，b之值，使
有无穷间断点x=0及可去间断点x=1．

答案：若x=0是f(x)的无穷间断点，则，
即
所以，当a=0，b≠1时，x=0是f(x)的无穷间断点．<...

设
连续，确定常数a与b．

答案：因为f(x)连续，所以f_-(0)=f₊(0)=f(0)，
又

求下列极限：
f(x)在a处可导，f(a)≠0，求

答案：

于是

确定下列各题中的常数：
设
，求常数a，b．

答案：

求函数
的间断点，并指出其类型．

答案：当x＜0时，．由sinπx=0得x=-1，-2，-3，…
当x≥0时，．由x²-1=0解...

讨论函数
的连续性(x≥0)．

答案：若，则
若，则
若2≤x＜+∞，则
而
所以
而上是初等函数，所以连续...

讨论函数
在定义域内的连续性．

答案：当0＜x≤e时，有

当x＞e时，有

于是有
又
可知f(...

设函数f(x)有连续的导函数，f(0)-0，且f’(0)=b，若函数
在x=0处连续，确定常数A．

答案：由题设，
又F(0)=A，因为F(x)在x=0点处连续，所以有，由此得
A=b+a．

确定下列各题中的常数：
设
，求C，A．

答案：

设
，试问a、b为何值时，函数
F(x)=f(x)+g(x)在区间(-∞，+∞)内连续

答案：对f(x)，g(x)在x＜0，0≤x＜1，x≥1上分别求和得

为使F(x)在(-∞，+∞)内连续，...

设
，其中f(x)具有连续导数且f(0)=0，试确定c使F(x)连续，并讨论F’(x)是否连续．

答案：由洛毕达法则，有
所以当c=0时，F(x)在x=0点连续．
当x≠0时，

于是...