问答题

设f(x)在[-a,a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0，试证：在[-a,a]上至少存在一点η，使

答案：
因f"(x)连续，故存在常数m，M，使m≤f"(ξ)≤M，于是有mx^B≤f"(ξ)x<...

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变更二次积分
的积分次序，并算出这个二次积分的值．

答案：由已给二次积分的积分限，可知积分区域，B≤x≤D．画出区域D的图形，如图B—G—B，交点的坐标为A(B,B)，B(D,A...

设|x|≤1，由Lagrange微分中值定理，存在θ∈(0,1)，使

试证：

答案：由Maclaurin公式，有

设有一半径为R，长为l的圆柱体平放在深度为2R的水池中(圆柱体的侧面与水面相切)，今将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功(设圆柱体的比重ρ＞1．)

答案：选取坐标系如图2—7—3所示，设将柱体分层，把在水深厚度为dx的一层柱体提出水面之上所做的功为

答案：
同理可得

故有

设f(x)在[a,b]上可导，且f(a)=f(b)=0，|f"(x)|≤4，试证：

答案：取，于是由题设有

其中ξ在x与x₀之间．
令x=a，代入①式...

设函数f(x)具有三阶连续导数，且满足

答案：

于是

设f(x)在[-a,a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0，试证：在[-a,a]上至少存在一点η，使

答案：
因f"(x)连续，故存在常数m，M，使m≤f"(ξ)≤M，于是有mx^B≤f"(ξ)x<...

设A为n阶矩阵，α₁，α₂，…，α_n为n个线性无关的n维向量，证明：r(A)]n
Aα₁，Aα₂，…，Aα_n线性无关．

答案： “”：记B=(α₁，α₂，…，α_n)，
则...

求a，b；

答案：设特征向量

解得λ=10，a=2，b=5．

给出合适的可逆矩阵P，使p^-1AP为对角阵．

答案：由
得矩阵特征值λ₁=λ₂=1，λ₃=10．
(A-E)x=0，