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问答题
答案：
因为
，且它是以2π为周期的函数，所以
，且它是以2π为周期的函数，所以
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①
问答题
设y=g(x，z)，而z=z(z，y)是由方程f(x-z，xy)=0所确定，其中函数f，g均有连续偏导数，求
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．
答案：
[分析与求解一] 这里有三个变量(x，y，z)，两个方程式，确定两个因变量．按题意，x为自变量，y，z为因变量．由方程组...
问答题
设f(x)在包含原点在内的某区间(a，b)内有二阶导数，且
设f(x)在包含原点在内的某区间(a，b)内有二阶导数，且
(a＜x＜b)，证明f(x)≥x(a＜x＜b)．
答案：
[证明] 由题设知
又f"(x)＞0在(a，b)内成立，故f’(x)在(a，b)内单调...
又f"(x)＞0在(a，b)内成立，故f’(x)在(a，b)内单调...
问答题
设平面图形D由x2+y2≤2x与x+y≥2所确定，求平面图形D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积．
答案：
[解法一] 平面图形
，在平面图形D绕y轴旋转一周所得旋转体中，满足x→x+dx的一层形状为圆筒形薄片，其厚度...
，在平面图形D绕y轴旋转一周所得旋转体中，满足x→x+dx的一层形状为圆筒形薄片，其厚度...
问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，又b＞a＞0，求证：存在ξ，η∈(a，b)，使得
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，又b＞a＞0，求证：存在ξ，η∈(a，b)，使得
答案：
[证明] 令g(x)=lnx，对函数f(x)与g(x)在区间[a，b]上用柯西中值定理可得，存在η∈(a，b)，使得
问答题
设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=1，
设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=1，
．求证：对任何满足0＜k＜1的常数k，存在ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=-k．
答案：
[证明] 令F(x)=f(x)+kx，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F’(x)=f’(x)+k，F...
问答题
设f(x)在[0，1]上可导，且f(x)≥0，f’(x)＜0．求证：函数
设f(x)在[0，1]上可导，且f(x)≥0，f’(x)＜0．求证：函数
满足
答案：
[证明] 由f’(x)＜0知f(x)在[0，1]上单调减少，故
x∈[0，1)有f(x)＞f(0)≥0，再由当...
x∈[0，1)有f(x)＞f(0)≥0，再由当...
，代入即得
讨论f(x)在点x=0的可导性；如果可导，求出f’(0)．
问答题
设u=f(x，z)，z=z(x，y)由方程
设u=f(x，z)，z=z(x，y)由方程
z=x+yφ(z)
确定，其中f(x，z)有连续偏导数，φ(z)有连续导数且1-yφ’(z)≠0，求du．
答案：
[分析与求解]
．下求dz．
由 z=z+yφ(z)得
代入得
．下求dz．由 z=z+yφ(z)得
代入得
，且在极坐标系下可表成f(x，y)=g(r)，
求f(x，y)．
，求y’．
和h(x)=tanx-sinx当x→0时都是无穷小量，若按照它们关于x的阶数从低到高的顺序排列起来，则是
化为定积分，其中D=(x，y)|x2+y2≤x．
上的最大值和最小值．
，而中间变量u满足关系式
，其中u(x，y)和f(u)均为可微函数，如果
，则u(x，y)=______．
，所以
问答题
设二元函数y=f(x，y)满足f(x，1)=0，f’y(x，0)=sinx，f"yy(x，y)=2x，则f(x，y)=______．
答案：
将f"yy的两边对y积分，得f’y(x，y)=2xy+φ(x)．由f’
问答题
设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，0＜f’(x)＜1(0＜x＜1)．求证：
设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，0＜f’(x)＜1(0＜x＜1)．求证：
答案：
[证明一] 引入辅助函数
，则F(x)在[0，1]可导，且F(0)=0，
由...
，则F(x)在[0，1]可导，且F(0)=0，
由...
”型未定式后，再用前面介绍的方法求极限．
问答题
求下列函数的n阶导数：
求下列函数的n阶导数：
(Ⅰ) y=ln(6x2+7x-3)，(n≥1)；(Ⅱ) y=sin2(2x)，(n≥1)．
答案：
[解] (Ⅰ) 因为 6x2+7x-3=(3x-1)(2x+3)，所以
y=ln(6x<...
y=ln(6x<...
问答题
已知y*=exsinx+excosx+e2x是二阶常系数线性微分方程y"+ay’+by=ce2x的一个特解，试确定常数a，b，c的值，并求此方程的通解．
答案：
[解] 计算可得
(y*)’=ex(sinx+cosx)+e
(y*)’=ex(sinx+cosx)+e
所以
问答题
设a≠0为常数，f(x)在(-∞，+∞)连续，考察一阶线性常系数方程
设a≠0为常数，f(x)在(-∞，+∞)连续，考察一阶线性常系数方程
y’+ay=f(x) (x∈(-∞，+∞))． (*)
(Ⅰ) 求通解的表达式；
(Ⅱ) 设a＞0，又f(x)有界且
收敛，求证：方程(*)只有一个解在(-∞，+∞)有界；
(Ⅲ) 若又有f(x)以T为周期，求证：方程(*)只有一个解是以T为周期的．
答案：
[分析与求解] (Ⅰ) 将方程两边乘以
得
(yeax)’=eax<...
得
(yeax)’=eax<...
求a，b，c之值．
是与x3等价的无穷小，则f(0)=______．
，其中D={(x，y)|(x-1)2+(y-1)2≤2}，则下列正确的是
确定的隐函数，求y’(0)和)，y"(0)的值．
=______．
，其中f有连续的二阶偏导数，求dz和
的收敛域为______．
，i=1，2，3，其中
问答题
设函数f(x)在[a，b]上一阶可导，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，f’(a)f’(b)＞0．求证：
设函数f(x)在[a，b]上一阶可导，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，f’(a)f’(b)＞0．求证：
(Ⅰ)
使得f’(ξ)=f(ξ)；
(Ⅱ)
使得f"(η)=f(η)．
答案：
[证明] (Ⅰ) 要证
使得f’(ξ)=f(ξ)
引入辅助函数F(x)=e<...
使得f’(ξ)=f(ξ)
引入辅助函数F(x)=e<...
问答题
设函数f(x)与g(x)都可导，且F(x)=g(x)|f(x)|，求证：
设函数f(x)与g(x)都可导，且F(x)=g(x)|f(x)|，求证：
(Ⅰ) 当f(x0)≠0时，F(x)在点x=x0处必可导；
(Ⅱ) 当f(x0)=0时，F(x)在点x=x0处可导的充分必要条件是f’(x0)g(x0)=0．
答案：
[证明] (Ⅰ) 当f(x0)≠0时，由f(x)的连续性知：存在δ＞0，使得当|x-x0...
