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问答题
求微分方程y"+4y’+4y=cos2x满足条件y(0)=y’(0)=0的特解．
答案：先求方程对应的齐次方程的通解．
特征方程为λ2+4λ+4=0，特征根为λ1
特征方程为λ2+4λ+4=0，特征根为λ1
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答案：原微分方程可变形为
，这是一阶线性微分方程，其通解为
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求微分方程xy’=y(1+lny-lnx)的通解．
答案：方程可变形为
，是一阶齐次微分方程．令
，则原方程变为
(*)
(... - 问答题
求微分方程
的通解．答案：方程变形为
，是齐次微分方程．令
，则
，两边积分得
所以有
即
代回
即得原方程通解为
- 问答题
设
求微分方程
=Q(x)(x∈[0，+∞)，x≠1)满足初始条件y(0)=0的连续解．答案：当0≤x≤1时，微分方程为
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当x＞0时
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(1)特征方程λ2-2λ-3=0，特征根λ... - 问答题
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求微分方程y"+4y=3|sinx|在[-π，π]上满足
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y=C1cos2... - 问答题
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(1+a... - 问答题
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答案：这是伯努利方程．令z=y-3，于是原方程化为一阶线性方程
上述方程的通解为
因此原方程的通解为
- 问答题
已知方程(6y+x2y2)dx+(8x+x3y)dy=0的两边乘以y3f(x)后便成为全微分方程，试求出可导函数f(x)，并解此微分方程．
答案：设P(x，y)=(6y4+x2y5)f(x)，Q(x，... - 问答题
求微分方程
的通解．答案：这是欧拉方程，令x=±et即t=ln|x|，方程变成
(*)
特... - 问答题
设f(x)在(-∞，+∞)上满足对任意x，y恒有f(x+y)=e2yf(x)+f(y)cosx，又f(x)在x=0处可导，且f’(0)=1，求f(x)．
答案：由于对任意x∈(-∞，+∞)，
由于f(x+y)=e2yf(x)+f(y)cosx，所以... - 问答题
设函数f(x)在[0，+∞)上可导，且f(1)=3，若f(x)的反函数g(x)满足
求f(x)．答案：这是含变上限定积分的方程，两端对x求导得
因为f(x)与g(x)互为反函数，所以gf(... - 问答题
设f(x)连续，又满足
，求f(x)．答案：这是含变上限积分的方程，且被积函数中含有参变量，所以应首先去掉被积函数中的参变量，化为被积函数中不含参变量的情况． - 问答题
设函数u的全微分du=[ex+f’(x)]ydx+f’(x)dy，其中f在(-∞，+∞)内具有二阶连续的导数，且f(0)=4，f’(0)=3，求f(x)．
答案：
，且
由于f有二阶连续的导数，则u的二阶偏导数连续，从而
，即<... - 问答题
若y(x)是[0，1]上的连续可微函数，且满足条件
求y(x)的表达式．答案：原方程两边关于x求导两次，得到
分离变量后再积分，得
．因为函数y(x)在点... - 问答题
设函数f(x)在(-∞，+∞)内有连续导数，且满足
求f(t)．答案：令x=rcosθ，r=sinθ，由
可得
所以f’(t)=4πt3... - 问答题
设f(x)二阶连续可导，且f(0)=0，f’(0)=1，求u(x，y)，使
du=y[f(x)+3e2x]dx+f’(x)dy．答案：
，由Pdx+Qdy是u(x，y)的全微分知：
，从而f"(x)-f(x)=3e2x - 问答题
设f(x)在区间[0，+∞)上连续，且
，求证：微分方程
的一切解，当x→+∞时都趋于1．答案：这是一阶非齐次线性微分方程，其通解为
因为
，所以存在X＞0，当x＞X时，
．
因此当x＞X时，
．于是
- 问答题
设当x＞0时，f(x)存在一阶连续导数，且f’+(0)存在，并设对于半空间x＞0内的任意光滑封闭曲面∑，恒有
求f(x)．答案：根据高斯公式可得
即 f(x)+xf’(x)-y+f(x)+2yz+y-2yz-x - 问答题
作变换t=tanx把微分方程
变换成y关于t的微分方程，并求原微分方程的通解．答案：由于
，
所以原方程变为
，解之得：y=(C1+C2 - 问答题
若一曲线上任一点M(x，y)处的切线斜率为
，且过点
，求此曲线方程．又当x取何值时，切线的斜率为
．答案：所求曲线方程为如下齐次微分方程定解问题的特解
令
，方程可化为
，... - 问答题
【计算题】在xOy平面的第一象限求一曲线，使由其上任一点P处的切线，x轴与线段OP所同成的三角形的面积为常数k，且曲线通过点(1，1)．
答案：设P点坐标为(x，y)，曲线方程为y=y(x)，该曲线在点P的切线方程为
Y-y=y’(X-x)，
它与... - 问答题
对任意实数x＞0，设曲线y=f(x)上点(x，f(x))处的切线在y轴上的截距等于连续函数
在区间[0，x2]上的平均值，求f(x)．答案：25，曲线y=f(x)上点(x，f(x))处的切线方程为
Y-f(x)=f’(x)(X-x)，
它在... - 问答题
一容器在开始时盛有液体100升，其中含净盐10公斤，然后以每分钟3升的速率注入清水，同时又以每分钟2升的速率将冲淡的液体放出．容器中装有搅拌器使容器巾的液体保持均匀，求过程开始后1小时溶液的含盐量．
答案：设在开始后t分钟容器中含盐x公斤，此时容器内溶液为(100+3t-2t)升，因而此时溶液的浓度为
(公斤/升)... - 问答题
子弹以速度v0=200米/秒与板垂直的方向打入厚度为10米的板，穿过后以速度v1=80米/秒离开此板，设板对子弹l拘阻力与速度平方成正比，求子弹穿过板5米厚时的速度．
答案：设子弹的质量为m，进入板后t时刻速度为v米/秒，此时穿过板的厚度为s米，由题意可得t时刻子弹的速度满足的微分方程为 - 问答题
设有连接点O(0，0)和A(1，1)的一段凸的曲线弧
上的任一点P(x，y)，曲线弧
与直线段
所围图形的面积为x2，求曲线弧
的方程．答案：设曲线弧
的方程为y=y(x)，由题意可得
方程两端对x求导得：
... - 问答题
设函数f(z)当x≥0时连续可微，且f(0)=1．现已知曲线y=f(x)，x轴、y轴及过点(x，0)且垂直于x轴的直线所围成的平面图形的面积与曲线y=f(x)在[0，x]上的一段弧长的值相等，求函数f(x)．
答案：由题设可得：
，这是含“变上限定积分”的积分方程，两端求导数可得
，即[f’(x)]