问答题

设f(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0．证明：存在一点ξ∈[a，b]，使 ∫ _a ^b f(x)g(x)dx=f(ξ)∫ _a ^b g(x)dx．

答案：正确答案：因f(x)在[a，b]上连续，故m≤f(x)≤M，其中m，M分别为f(x)的最小值、最大值．因为g(x)＞0...

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(1)若f(x)=
，试证f’(0)=0； (2)若f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=∫ ₀ ^x f(t)dt，试证f(x)≡0(一∞＜x＜+∞)．

答案：正确答案：(1)因为
(2)由f(x)=∫₀^xf(t)dt可知f’...

答案：正确答案：因k值不同，故分情况讨论：当k＞1时，原式=
即积分收敛；当k=1时，原式=
即积分发...

已知I(α)=
求积分∫ _-3 ² I(α)dα．

答案：正确答案：当α≠0且a≠±1时，
当α=1时，I(α)=
当α=一1时，I(α)=
当α=...

设在区间[e，e ² ]上，数p，q满足条件px+q≥ln x，求使得积分
取得最小值时p，q的值．

答案：正确答案：设直线y=px+q与曲线y=ln x相切于点(t，lnt)，则有

设f(x)在[0，+∞)上连续，且
收敛，其中常数A＞0．证明：

答案：正确答案：

所以

求曲线
的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x=0，x=2所围成图形的面积最小．

答案：正确答案：

又S"(1)＞0，故t=1时，S(t)取最小值，此时l的方程为

设函数f(x)连续，且∫ ₀ ^x tf(2x一t)dt=
已知f(1)=1，求∫ ₁ ² f(x)dx的值．

答案：正确答案：令u=2x一t，则t=2x一u，dt=一du．当t=0时，u=2x；当t=x时，u=x．故 ∫_0<...

设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内大于零，并且满足xf’(x)=f(x)+
(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积为2．求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

答案：正确答案：由题设，当x≠0时,

，据此并由f(x)在点x=0处的连续性，得

设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S ₁ ，区间[0，x]上以y=y(x) 为曲边的曲边梯形面积记为S ₂ ，并设2S ₁ 一S ₂ 恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．

答案：正确答案：曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为 Y—y=y’(X-x)．它与x轴的交点为
．由于y...

设f(x)在(一∞，+∞)内连续，以T为周期，证明： (1)∫ _a ^a+T f(x)dx=∫ ₀ ^T f(x)dx(a为任意实数)； (2)∫ ₀ ^x f(t)dt以T为周期
∫ ₀ ^T f(x)dx=0； (3)∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期为T
∫ ₀ ^T f(x)dx=0．

答案：正确答案：(1)
=f(a+T)一f(a)=0，故 ∫_a^a+Tf...

计算不定积分

答案：正确答案：

求定积分
的值．

答案：正确答案：

设常数0＜a＜1，求

答案：正确答案：

对后者作变量代换x=π一t，得

，所以

设a，b均为常数，a＞一2且a≠0，求a，b为何值时，有

答案：正确答案：
若b—a≠0，上述极限不存在，所以要使原等式成立，必有a=b，那么
所以
=2...

直线y=x将椭圆x ² +3y ² =6y分为两块，设小块面积为A，大块面积为B，求
的值．

答案：正确答案：直线与椭圆的交点为(0，0)，

，则

令y一1=sint，则

设f(x)=
求曲线y=f(x)与直线
所围成的平面图形绕x轴旋转所成旋转体的体积．

答案：正确答案：先求f(x)的表达式，注意到函数e^x在x→+∞与x→一∞的极限，可知
显然，x...

设
f(x)=∫ ₀ ^x g(t)dt． (1)证明y=f(x)为奇函数，并求曲线的水平渐近线； (2)求曲线y=f(x)与它所有水平渐近线及y轴所围成图形的面积．

答案：正确答案：(1)因f(一x)=
=一f(x)，故f(x)为奇函数．因
故y=f(x)有两条水平渐近线...

设函数f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且
f(x)dx=f(0)．证明：在(0，1)内存在一点c，使f’(c)=0．

答案：正确答案：由积分中值定理知，在
上存在一点ξ₁，使
从而有f(ξ_1<...

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续．证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ _ξ ^b g(x)dx=g(ξ)∫ _a ^ξ f(x)dx．

答案：正确答案：记G(x)=f(x)∫_x^bg(t)dt-g(x)∫_a

f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0．证明：存在一点ξ∈[0，1]，使得 f’(ξ)=2∫ ₀ ¹ f(x)dx．

答案：正确答案：因为f’(x)在[0，1]上连续，所以f’(x)在[0，1]上有最小值和最大值，设为m，M，即存在x_...

设f(x)在[a，b]上连续且严格单调增加．证明： (a+b)∫ _a ^b f(x)dx＜2∫ _a ^b xf(x)dx．

答案：正确答案：令F(t)=(a+t)∫_a^tf(x)dx一2∫_a

设函数f’(x)在[a，b]上连续，且f(a)=0．证明：

答案：正确答案：因为[f(x)]²=[f(x)一f(a)]²=[∫_a

设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0．证明：对任意a∈[0，1]，有∫ ₀ ^a g(x)f’(x)dx+∫ ₀ ¹ f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)．

答案：正确答案：令F(a)=∫₀^ag(x)f’(x)dx+∫₀

设函数f(x)在[a，b]上有连续导数，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，∫ _a ^b f(x)dx=0．证明：(1)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=f(ξ)； (2)在(a，b)内至少存在一点η，且η≠ξ，使得f"(η)=f(η)．

答案：正确答案：(1)由积分中值定理知，至少存在一点c∈(a，b)，使得
设G(x)=e^-xf...

设f(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0．证明：存在一点ξ∈[a，b]，使 ∫ _a ^b f(x)g(x)dx=f(ξ)∫ _a ^b g(x)dx．

答案：正确答案：因f(x)在[a，b]上连续，故m≤f(x)≤M，其中m，M分别为f(x)的最小值、最大值．因为g(x)＞0...

设f(x)在区间[一a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，且f(0)=0． (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明：存在η∈[-a，a]，使a ³ f"(η)=3∫ _-a ^a f(x)dx．

答案：正确答案：(1)对任意x∈[一a，a]，有
(2)
因为f"(x)在[一a，a]上连续，由最值定理：...

f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=
xe ^1-x f(x)dx(k＞1)．证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=(1一ξ ^-1 )f(ξ)．

答案：正确答案：令F(x)=xe^-xf(x)，因
，F(1)=e^-1f(...

设a＜b，证明：[∫ _a ^b f(x)g(x)dx] ² ≤∫ _a ^b f ² (x)dx∫ _a ^b g ² (x)dx．

答案：正确答案：构造辅助函数 F(t)=[∫_a^tf(x)g(x)dx]^2...

设出售某种商品，已知某边际收益是R’(x)=(10一x)e ^-x ,边际成本是C’(x)=(x ² —4x+6)e ^-x ，且固定成本是2．求使这种商品的总利润达到最大值的产量和相应的最大总利润．

答案：正确答案：R(x)=∫₀^xR’(t)dt=∫₀