问答题

求下列区域的体积：
力是球体x²+y²+z²≤4az中曲面x²+y²+az=4a²的下方部分；

答案：两曲面的交线Γ：
或z=4a．所以两曲面的交线为
和交点(0，0，4a)，因此&Omeg...

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计算
，其中L为(x²+y²)²=a²(x²-y²)(a＞0)．

答案：令x=rcosθ，y=rsinθ，则L的极坐标方程为r²=a^2<...

计算二重积分
，其中D是由y=x²，y=2，|x|=1所围成的区域．

答案：因为当(x，y)∈D₁(在曲线y=x²上方)时，min{y，x

把对坐标的曲线积分
化为对弧长的曲线积分，其中C为沿半圆周x²+y²=2x从点(0，0)到点(1，1)的一段弧．

答案：方法一由于圆周x²+y²=2x上任一点的切向量为τ=±{F&rsq...

计算
，其中L是球面x²+y²+z²=2bx与柱面x²+y²=2ax(b＞a＞0)的交线(z≥0)，L的方向规定为沿L的方向运动时，从z轴正向往下看，曲线L所围球面部分总在左边．

答案：记∑为曲线L所围球面部分的外侧．因为按题意所规定L的方向及曲面与其边界的定向法则(右手系法则)知外侧为正侧(如图...

计算
,其中Ω是由抛物柱面
，平面y=0，z=0，
所围成的区域．

答案：由于Ω是由抛物柱面
，平面y=0，z=0，
所围成的区域，将Ω向xOy平面投...

计算
．

答案：

由于
关于x的原函数不是初等函数，所以需改变累次积分的次序．

，且D是由直线y=x，
和曲线
所围成的图形在直线
右边的部分，所以

计算
，其中∑：
．

答案：由于积分曲面关于xOz，yOz平面都对称，所以
，从而

由于∑在xO...

计算
，其中L为椭圆周
．

答案： L的参数方程为x=acost，y=bsint(0≤t≤2π)，它关于x轴、y轴都对称．设L_1...

计算曲线积分
，其中f是沿螺线x=acosθ，y=asinθ，
，从A(a，0，0)到B(a，0，h)的有向曲线段．

答案：

用定积分计算．由于当θ=0对应A，当θ=2π时对应B，所以

计算
，其中∑是由曲线x=e^y(0≤y≤a)绕x轴旋转成的旋转曲面的外侧。

答案：

作平面x=e^a，与曲面∑围成闭区域Ω(如图)，由高斯公式可得

故

计算曲线积分
，其中L是沿曲线y=sinx从O(0，0)到A(π，0)的有向弧段．

答案：

由于

所以

从而

计算
，其中Ω为x²+y²+z²≤2z．

答案：

由于Ω关于xOz，yOz平面都是对称的，所以由对称性可得

给定面密度为1的平面薄板D：x²≤y≤1，求该薄板关于过D的重心和点(1，1)的直线的转动惯量．

答案：设重心为
，则由薄板的对称性与密度分布的均匀性知
=0，而

因为<...

计算
，其中Ω是由z=x²+y²，x²+y²=1及三个坐标面围成第一卦限内的闭区域．

答案：利用“先一后二”计算．Ω在xOy平面上的投影域为D：x²+y<...

选择a，b，使(2ax³y³-3y²+5)dx+(3x⁴y²-2bxy-4)dy是某函数u(x，y)的全微分，并求u(x，y)．

答案：由于P(x，y)=2ax²y²-3y²+5，Q(x，y...

设有体密度为ρ(x，y，z)的立体力，试写出Ω绕直线x=y=z的转动惯量的积分表达式．

答案：由于质量为m的质点绕直线l的转动惯量为l=md²，其中d为质点到直线的距离．在Ω内任意...

计算二重积分
，其中D=(x，y)|0≤x≤y≤2π．

答案：

区域D分解为D₁，D₂，如图所示，则

计算
，其中f为连续函数，∑为平面x-y+z=1在第四卦限部分上侧．

答案：由于积分曲面为平面，所以化为第一类曲面积分计算比较简单．
因为∑为平面x-y+z=1在第四卦限部分上侧...

计算
，其中L是从O(0，0)沿摆线
到A(2aπ，0)的一拱．

答案：作C：(x-πa)²+(πy)²=(aπ)²

设f(x，y)为连续函数，
，其中D是由y=0，y=x²，x=1同成的区域，求f(x，y)．

答案：

令
，由题设得：f(x，y)=xy+A，从而xyf(x，y)=x²y²+xyA．在区域D上求二重积分即得

从而由

故

计算
，其中L为(0，0)经(0，1)到(1，2)的一段圆弧．

答案：令P(x，y)=e^y+3x²，Q(x，y)=xe^y+2...

计算二重积分
，其中D是由曲线
与直线x+y=2围成的平面区域．

答案：由方程组
可得两曲线的交点为(1，1)，(2，0)．令x=rcosθ，y=rsinθ，...

设有曲面∑：x²+y²+z²=2x，它的面密度为μ(x，y)=x²+y²+z²，求它的质量．

答案：
．记∑₁为∑在xOy平面上方的部分，由于∑关于xOy平面对称，...

设f(t)为连续的奇函数，D=(x，y)||x|≤1，|y|≤1，求
．

答案：

上式右端交换积分次序得

故原式=0．

计算
，其中L是曲线
沿逆时针方向．

答案：

取C：x²+y²=ε²，方向为逆时针，则

计算,其中Ω是由椭球面的上半部分与平面z=0所围成的区域．

答案：

利用“先二后一”完成．

所以

计算曲线积分
，其中L为曲线y=x²上从A(-1，1)到B(1，1)的弧段．

答案：

计算二重积分
，其中D是由曲线y=x²，y=4x²，y=1围成的区域．

答案：记D₁是D在第一象限的部分，由二重积分性质得

由于区域D是关于Y...

计算二重积分
，其中D由摆线的一拱
(0≤t≤2π)与x轴围成．

答案：

计算二重积分
，其中D是由x=0，y=0，z+y=1所围成的平面域．

答案：由于积分
都不能用有限形式表示出来，所以在直角坐标系下无法计算，注意到被积函数是
的形式，因此令x=...

计算二重积分
，其中D=(x，y)||x|≤1，0≤y≤2．

答案：

记D₁是D在抛物线y=x²上方部分，D₂是D在抛物线y=x²下方部分，故

而

所以

确定λ的值，使曲线积分
与路径无关，并求当A，B分别为(0，0)，(1，2)时，此曲线积分的值．

答案：由于
与路径无关，所以
．
从而 6(λ-1)x^λ-...

设函数f(x)连续，且f(0)=1，令
，求F"(0)．

答案：

由于f(x)只假定连续，没有假定其可导，所以只能根据定义求F"(0)：

设P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在全空间有连续偏导数，L₁与L₂是两条光滑曲线，有相同的起点A与终点B，记F=P，Q，R，若rot F=0，证明：

答案：

由于
合并构成一条闭曲线L，∑是以L为边界的分片光滑曲面，取其方向与L方向满足右手法则，则由斯托克斯公式得

所以

计算
．

答案：该累次积分无法直接汁算，其对应的二重积分为
，其中D=D₁+D₂，...

计算
，其中Ω为x²+y²+z²≤1，被积函数

答案：由于被积函数是分段函数，因此须首先将积分域分成几个相应的子域，然后再计算，由被积函数的表达式及积分域的特点选球坐标系计算...

交换二次积分
的积分顺序，并算出这个积分的值．

答案：

由先对x积分，后对y积分，有

变更为先对y积分后对x积分，有D=D₁+D₂，且

故

计算
，其中Ω由x²+y²≤z²，0≤z≤h确定．

答案：

由于Ω关于yOz，xOz平面都是对称的，故
．于是
=
．利用“先二后一”可得

设f(x)为可微函数且f(0)=0，f’(0)=2，求
．

答案：

计算
，其中∑为曲面
(0≤z≤1)的下侧．

答案：添加曲面∑₁：
其法向量与z轴正向相同，则∑+∑₁

设闭区域Ω由x²+y²+z²≤r²(r＞0)所确定，且f(x，y，z)在Ω上连续，求

答案：由于f(x，y，z)在Ω上连续，所以由积分中值定理可得：在Ω内存在一点(ξ，η，&...

计算
，其中Ω为x²+y²+z²≤1．

答案：

Ω是球体、椭球体，而被积函数是一元函数的三重积分，一般选择“先二后一”来完成．

计算
其中Ω是由
及z=h(h＞0)围成的闭区域．

答案：

由于Ω是旋转体，所以选用“先二后一”计算．

计算
，其中L为x²+y²+z²=a²，x²+y²=ax(z≥0，a＞0)的交线，从z轴正向看过去为逆时针方向．

答案：方法一利用定积分计算．
积分曲线的参数方程为
，其中t从0到2π．
所以

计算
，其中∑为锥面
及平面z=1围成区域的整个边界曲面．

答案：记∑₁为锥面
被平面z=1截下的有限部分，∑₂为平...

计算二重积分
，其中D=(x，y)|x²+y2≤2x．

答案：

这里，积分区域D关于x轴对称，其中上述表达式中第一项的被积函数关于y是偶函数，第二项的被积函数关...

计算
，其中L由O(0，0)到A(2a，0)沿x²+y²=2ax的上半圆周的一段弧．

答案：

由于直接利用定积分计算太复杂，所以借助二重积分完成．

计算二重积分，其中D是由圆弧，半圆弧及y轴所围成．

答案：

这里积分域的边界线由圆弧和直线组成，被积函数是x²+y²的函数，故应利用极坐标计算．

设f(u)连续，C为平面上光滑或逐段光滑的任何闭曲线，求证：
·

答案：令u=x²+y²，由f(u)连续，必有
，使φ&rsquo...

求下列区域的体积：
力是球体x²+y²+z²≤4az中曲面x²+y²+az=4a²的下方部分；

答案：两曲面的交线Γ：
或z=4a．所以两曲面的交线为
和交点(0，0，4a)，因此&Omeg...

计算二重积分
，其中D由直线x+y=2及x轴及曲线y=x²同成．

答案：

因区域D={(x，y)|0≤y≤1，
≤x≤2-y}，故

计算曲面积分
，其中∑是曲面z=x²+y²满足z≤x的部分，取下侧．

答案：先求
．由题意∑可表示为单值函数
，∑在yOz平面上的投影域为D_yOz

答案：

计算
．

答案：由于累次积分对应的二重积分的积分区域为

如右图．

由...

求下列区域的体积：
Ω是z=x²+y²，x+y+z=1所围区域．

答案：两曲面的交线为Γ：
，所以Ω在xOy平面上的投影域为D_xOy：<...

答案：