问答题

计算
,其中Ω为x2+y2+z2≤2z.

答案:

由于Ω关于xOz,yOz平面都是对称的,所以由对称性可得

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问答题

计算
,其中L为(x2+y2)2=a2(x2-y2)(a>0).

答案: 令x=rcosθ,y=rsinθ,则L的极坐标方程为r2=a2<...
问答题

计算二重积分
,其中D是由y=x2,y=2,|x|=1所围成的区域.

答案: 因为当(x,y)∈D1(在曲线y=x2上方)时,min{y,x
问答题

把对坐标的曲线积分
化为对弧长的曲线积分,其中C为沿半圆周x2+y2=2x从点(0,0)到点(1,1)的一段弧.

答案: 方法一 由于圆周x2+y2=2x上任一点的切向量为τ=±{F&rsq...
问答题

计算
,其中L是球面x2+y2+z2=2bx与柱面x2+y2=2ax(b>a>0)的交线(z≥0),L的方向规定为沿L的方向运动时,从z轴正向往下看,曲线L所围球面部分总在左边.

答案: 记∑为曲线L所围球面部分的外侧.因为按题意所规定L的方向及曲面与其边界的定向法则(右手系法则)知外侧为正侧(如图...
问答题

计算
,其中Ω是由抛物柱面
,平面y=0,z=0,
所围成的区域.

答案: 由于Ω是由抛物柱面
,平面y=0,z=0,
所围成的区域,将Ω向xOy平面投...
问答题

计算

答案:

由于
关于x的原函数不是初等函数,所以需改变累次积分的次序.

,且D是由直线y=x,
和曲线
所围成的图形在直线
右边的部分,所以

问答题

计算
,其中∑:

答案: 由于积分曲面关于xOz,yOz平面都对称,所以
,从而


由于∑在xO...
问答题

计算
,其中L为椭圆周

答案: L的参数方程为x=acost,y=bsint(0≤t≤2π),它关于x轴、y轴都对称.设L1...
问答题

计算曲线积分
,其中f是沿螺线x=acosθ,y=asinθ,
,从A(a,0,0)到B(a,0,h)的有向曲线段.

答案:

用定积分计算.由于当θ=0对应A,当θ=2π时对应B,所以

问答题

计算
,其中∑是由曲线x=ey(0≤y≤a)绕x轴旋转成的旋转曲面的外侧。

答案:

作平面x=ea,与曲面∑围成闭区域Ω(如图),由高斯公式可得






问答题

计算
,其中Ω为x2+y2+z2≤2z.

答案:

由于Ω关于xOz,yOz平面都是对称的,所以由对称性可得

问答题

给定面密度为1的平面薄板D:x2≤y≤1,求该薄板关于过D的重心和点(1,1)的直线的转动惯量.

答案: 设重心为
,则由薄板的对称性与密度分布的均匀性知
=0,而


因为<...
问答题

计算
,其中Ω是由z=x2+y2,x2+y2=1及三个坐标面围成第一卦限内的闭区域.

答案: 利用“先一后二”计算.Ω在xOy平面上的投影域为D:x2+y<...
问答题

选择a,b,使(2ax3y3-3y2+5)dx+(3x4y2-2bxy-4)dy是某函数u(x,y)的全微分,并求u(x,y).

答案: 由于P(x,y)=2ax2y2-3y2+5,Q(x,y...
问答题

设有体密度为ρ(x,y,z)的立体力,试写出Ω绕直线x=y=z的转动惯量的积分表达式.

答案: 由于质量为m的质点绕直线l的转动惯量为l=md2,其中d为质点到直线的距离.在Ω内任意...
问答题

计算二重积分
,其中D=(x,y)|0≤x≤y≤2π.

答案:

区域D分解为D1,D2,如图所示,则





问答题

计算
,其中f为连续函数,∑为平面x-y+z=1在第四卦限部分上侧.

答案: 由于积分曲面为平面,所以化为第一类曲面积分计算比较简单.
因为∑为平面x-y+z=1在第四卦限部分上侧...
问答题

计算
,其中L是从O(0,0)沿摆线
到A(2aπ,0)的一拱.

答案: 作C:(x-πa)2+(πy)2=(aπ)2
问答题

设f(x,y)为连续函数,
,其中D是由y=0,y=x2,x=1同成的区域,求f(x,y).

答案:


,由题设得:f(x,y)=xy+A,从而xyf(x,y)=x2y2+xyA.在区域D上求二重积分即得


从而由



问答题

计算
,其中L为(0,0)经(0,1)到(1,2)的一段圆弧.

答案: 令P(x,y)=ey+3x2,Q(x,y)=xey+2...
问答题

计算二重积分
,其中D是由曲线
与直线x+y=2围成的平面区域.

答案: 由方程组
可得两曲线的交点为(1,1),(2,0).令x=rcosθ,y=rsinθ,...
问答题

设有曲面∑:x2+y2+z2=2x,它的面密度为μ(x,y)=x2+y2+z2,求它的质量.

答案:
.记∑1为∑在xOy平面上方的部分,由于∑关于xOy平面对称,...
问答题

设f(t)为连续的奇函数,D=(x,y)||x|≤1,|y|≤1,求

答案:





上式右端交换积分次序得


故原式=0.

问答题

计算
,其中L是曲线
沿逆时针方向.

答案:

取C:x2+y22,方向为逆时针,则

问答题

计算,其中Ω是由椭球面的上半部分与平面z=0所围成的区域.

答案:

利用“先二后一”完成.


所以

问答题

计算二重积分
,其中D是由曲线y=x2,y=4x2,y=1围成的区域.

答案: 记D1是D在第一象限的部分,由二重积分性质得


由于区域D是关于Y...
问答题

计算二重积分
,其中D是由x=0,y=0,z+y=1所围成的平面域.

答案: 由于积分
都不能用有限形式表示出来,所以在直角坐标系下无法计算,注意到被积函数是
的形式,因此令x=...
问答题

计算二重积分
,其中D=(x,y)||x|≤1,0≤y≤2.

答案:

记D1是D在抛物线y=x2上方部分,D2是D在抛物线y=x2下方部分,故





所以

问答题

确定λ的值,使曲线积分
与路径无关,并求当A,B分别为(0,0),(1,2)时,此曲线积分的值.

答案: 由于
与路径无关,所以

从而 6(λ-1)xλ-...
问答题

设函数f(x)连续,且f(0)=1,令
,求F"(0).

答案:


由于f(x)只假定连续,没有假定其可导,所以只能根据定义求F"(0):

问答题

设P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在全空间有连续偏导数,L1与L2是两条光滑曲线,有相同的起点A与终点B,记F=P,Q,R,若rot F=0,证明:

答案:

由于
合并构成一条闭曲线L,∑是以L为边界的分片光滑曲面,取其方向与L方向满足右手法则,则由斯托克斯公式得


所以

问答题

计算

答案: 该累次积分无法直接汁算,其对应的二重积分为
,其中D=D1+D2,...
问答题

计算
,其中Ω为x2+y2+z2≤1,被积函数

答案: 由于被积函数是分段函数,因此须首先将积分域分成几个相应的子域,然后再计算,由被积函数的表达式及积分域的特点选球坐标系计算...
问答题

交换二次积分
的积分顺序,并算出这个积分的值.

答案:

由先对x积分,后对y积分,有




变更为先对y积分后对x积分,有D=D1+D2,且




问答题

计算
,其中Ω由x2+y2≤z2,0≤z≤h确定.

答案:

由于Ω关于yOz,xOz平面都是对称的,故
.于是
=
.利用“先二后一”可得

问答题

计算
,其中∑为曲面
(0≤z≤1)的下侧.

答案: 添加曲面∑1
其法向量与z轴正向相同,则∑+∑1
问答题

设闭区域Ω由x2+y2+z2≤r2(r>0)所确定,且f(x,y,z)在Ω上连续,求

答案: 由于f(x,y,z)在Ω上连续,所以由积分中值定理可得:在Ω内存在一点(ξ,η,&...
问答题

计算
,其中Ω为x2+y2+z2≤1.

答案:

Ω是球体、椭球体,而被积函数是一元函数的三重积分,一般选择“先二后一”来完成.

问答题

计算
其中Ω是由
及z=h(h>0)围成的闭区域.

答案:

由于Ω是旋转体,所以选用“先二后一”计算.

问答题

计算
,其中L为x2+y2+z2=a2,x2+y2=ax(z≥0,a>0)的交线,从z轴正向看过去为逆时针方向.

答案: 方法一 利用定积分计算.
积分曲线的参数方程为
,其中t从0到2π.
所以
问答题

计算
,其中∑为锥面
及平面z=1围成区域的整个边界曲面.

答案: 记∑1为锥面
被平面z=1截下的有限部分,∑2为平...
问答题

计算二重积分
,其中D=(x,y)|x2+y2≤2x.

答案:

这里,积分区域D关于x轴对称,其中上述表达式中第一项的被积函数关于y是偶函数,第二项的被积函数关...
问答题

计算
,其中L由O(0,0)到A(2a,0)沿x2+y2=2ax的上半圆周的一段弧.

答案:

由于直接利用定积分计算太复杂,所以借助二重积分完成.

问答题

计算二重积分,其中D是由圆弧,半圆弧及y轴所围成.

答案:

这里积分域的边界线由圆弧和直线组成,被积函数是x2+y2的函数,故应利用极坐标计算.

问答题

设f(u)连续,C为平面上光滑或逐段光滑的任何闭曲线,求证:
·

答案: 令u=x2+y2,由f(u)连续,必有
,使φ&rsquo...
问答题

求下列区域的体积:

力是球体x2+y2+z2≤4az中曲面x2+y2+az=4a2的下方部分;

答案: 两曲面的交线Γ:
或z=4a.所以两曲面的交线为
和交点(0,0,4a),因此&Omeg...
问答题

计算二重积分
,其中D由直线x+y=2及x轴及曲线y=x2同成.

答案:

因区域D={(x,y)|0≤y≤1,
≤x≤2-y},故



问答题

计算曲面积分
,其中∑是曲面z=x2+y2满足z≤x的部分,取下侧.

答案: 先求
.由题意∑可表示为单值函数
,∑在yOz平面上的投影域为DyOz
问答题

答案:

问答题

计算

答案: 由于累次积分对应的二重积分的积分区域为


如右图.


由...
问答题

求下列区域的体积:

Ω是z=x2+y2,x+y+z=1所围区域.

答案: 两曲面的交线为Γ:
,所以Ω在xOy平面上的投影域为DxOy:<...
问答题

答案:

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