问答题

设二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX经过正交变换化为标准形
，又A^*α=α，其中α=(1，1，-1)^T．
求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX化为标准形．

答案：

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计算二重积分

答案：

计算曲面积分

其中三是曲线
绕z轴旋转一周所得到的曲面，取外侧．

答案：曲面∑：z=1-x²-y²(z≥0)，
令∑₀：z=0(x²+y²≤1)，取下侧，

由高斯公式得

设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f"(x)＜0，x₀∈[a，b]，证明：

等号成立当且仅当x=x₀，并证明f(x)在(a，b)内是上凸的函数；

答案：由泰勒公式得

设
问a，b，c为何值时，矩阵方程AX=B有解，有解时求出全部解．

答案：令x=(ζ₁，ζ₂，ζ₃)，B=(β₁，β₂，β₃)，矩阵方程化为A(ζ₁，ζ₂，ζ₃)=(β₁，β₂，β₃)，即

当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状．若它在进入大气层开始燃烧的前3s内，减少了体积的
，问此陨石完全燃尽需要多少时间

答案：设陨石体积为V，表面积为S，半径为r，它们都是时间t的函数，

设f(x，y)=(x-6)(y+8)，求函数f(x，y)在点(x，y)处的最大的方向导数g(x，y)，并求g(x，y)在区域D=(x，y)|x²+y²≤25)上的最大值与最小值．

答案：函数f(x，y)的梯度为
gradf(x，y)={y+8，x-6)，

设二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX经过正交变换化为标准形
，又A^*α=α，其中α=(1，1，-1)^T．
求矩阵A；

答案：显然A的特征值为λ₁=2，λ₂=-1，λ₃=-1，|A...

答案：

设随机变量X₁，X₂，…，X_m+n(m＜n)独立同分布，其方差为σ²，令

求：
D(Y)，D(Z)；

答案：因为X₁，X₂，…，X_m+n相互独立，

设二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX经过正交变换化为标准形
，又A^*α=α，其中α=(1，1，-1)^T．
求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX化为标准形．

答案：

设随机变量X₁，X₂，…，X_m+n(m＜n)独立同分布，其方差为σ²，令

求：
ρ_YZ．

答案：

设(X，Y)的联合密度函数为

求X的边缘密度；

答案：