问答题

设

答案： [解]

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设f(x)在(-∞，+∞)内连续，以T为周期，试证明：

答案： [证]

设f(x)在(-∞，+∞)内连续，以T为周期，试证明：

答案： [证]

设常数0＜a＜1，求

答案： [解]

对第二项作积分变换x=π-t．得

，所以

设f(x)在(-∞，+∞)内连续，以T为周期，试证明： ∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期为

答案： [证] 只需注意

是f(x)的一个原函数．

设a，b均为常数，a＞-2，a≠O，求a，b为何值时，使

答案： [解]

若b-a≠0，上述极限不存在...

直线y=x将椭圆x²+3y²=6y分为两块，设小块面积为A，大块面积为B，求
的值．

答案： [解] 直线与椭圆的交点为(0，0)，
，则

令y-1=si...

求曲线y=f(x)与直线
所围成平面图形绕x轴旋转所成旋转体的体积．

答案： [解] 先求f(x)的表达式，注意到函数e^x在x→+∞与x→-∞的极限，可知
<...

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得

答案： [证] 记
，则可以求得G(x)的原函数为
，其中C为任意常数．因为f(x)，g(x)在[a，b]上...

设函数f(x)有连续导数，
，证明：
F(2a)-2F(a)=f²(a)-f(0)f(2a)．

答案： [证]

又
，所以

f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得

答案： [证] 因为f’(x)在[0，1]上连续，所以，f’(x)在[0，1]上有最小值和最大值，设为m，M，即存在x_...

设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足

证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．

答案： [证] 由积分中值定理，得

令F(x)=e^1-x²

设f(x)在[a，b]上连续且严格单调增加，证明：

答案： [证] 令
则

因为a≤x≤t，且f(x)在[a，b]上严格...

设函数f’(x)在[a，b]上连续，且f(a)=0，证明：

答案： [证] 因为

，而

设f(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0，证明：存在一点ξ∈[a，b]，使

答案： [证] 因f(x)在[a，b]上连续，故m≤f(x)≤M，其中m，M分别是f(x)在[a，b]上的最小值与最大值．

设f(x)在区间[-a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0．写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；

答案： [解] 对任意x∈[-a，a]，有

设f(x)在区间[-a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0．证明：在[-a，a]上存在η，使

答案： [证]

因为f"(x)在[-a，a]上连续，由最值定理：m≤f"(x)≤M，x∈[-a，...

设f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且f(0)·f(1)＞0，
，试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=ξf(ξ)．

答案： [证] 令
，由此可知f(c)≠0，否则f(1)=0，与题设f(0)f(1)＞0矛盾，不妨设f(c)＞0，则f...

f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，

证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=(1-ξ^-1)f(ξ)．

答案： [证] 令F(x)=xe^-xf(x)，因

F(1)=e^-1...

设a＜b，证明不等式

答案： [证] 构造辅助函数

则F(a)=0，且

设
求a_n；

答案： [解] 作积分变量替换，令t=1-x，

设

答案： [解]

设f(x)在区间(-∞，+∞)内具有连续的一阶导数，并设

求f(x)．

答案： [解]

由上述表达式可见有f(0)=0，f’(0)=1．所以由f"(...