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问答题
判断级数
判断级数
的敛散性．
答案：
因为
，
则
故
，所以根据级数收敛的定义知，
收敛．
，则
故
，所以根据级数收敛的定义知，收敛．
你可能感兴趣的试题
的和．
，
．
，故
收敛．
的敛散性．
，则
，而
是
＞1的p级数，收敛，所以由比较判别法，原级数收敛．
的和．
，x∈(-1，1)，则
．
．
的和函数．
．
的收敛域及和函数．
条件收敛．
，则
发散．
，故
收敛．
，求f(x)．
的和．
，令幂级数
，其收敛区间为(-∞，+∞)，并记其和函数
，则有
，
，两边求导得
，故
展成幂级数．
，
问答题
设单位质点在水平面内做直线运动，初速度v|t=0=v0．已知阻力与速度成正比(比例常数为1)，问t为多少时，此质点的速度为
设单位质点在水平面内做直线运动，初速度v|t=0=v0．已知阻力与速度成正比(比例常数为1)，问t为多少时，此质点的速度为
，并求到此时刻该质点所经过的路程．
答案：
对此单位质点，则由牛顿第二定律可得-v’=v，即v’+v=0，质点的运动速度为v(t)．由题设，有
展开为正弦级数和余弦级数．
展开成(x-1)的幂级数，并求数项级数
的和．
．
；
．
．
，于是得
，
．
．
，求f(u)．
问答题
设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数
试将x=x(y)所满足的微分方程
变换为y=y(x)满足的微分方程。
答案：
由反函数求导法则，
，则
，将以上两式代入所给微分方程得y"-y=sinx．
问答题
设有连接两点A(0，1)与B(1，0)且位于弦AB上方的一条上凸的曲线，P(x，y)为曲线上任一点．已知曲线与弦AP之间的面积为P点横坐标的立方，求曲线方程．
答案：
如下图，设曲线方程为y=f(x)，则弦AP的方程为
，
即
，
即
，代入原方程得
．解得p=
，即y’=
，积分可得y=
，其中C1，C2为任意常数．
问答题
设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为
设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为
，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程．
答案：
因曲线上凸，故有y"＜0．由曲率计算公式，得
，
即y"=-(1+y’2
，
即y"=-(1+y’2
问答题
设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．
设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．
求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解．
答案：
由(Ⅰ)中结果，则对应齐次方程的特征方程为λ2-1=0，特征根为λ1，2=±...
问答题
设f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)＞0，设f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均数，求f(x)．
答案：
根据题意得
，令
，则有
，等式两边求导得
，即
令
，则
，于是有
，解此微分方程得z=
．
将
代入，即得
(其中C≥0，为常数)．
，令，则有，等式两边求导得，即令
，则，于是有，解此微分方程得z=．将
代入，即得(其中C≥0，为常数)．
